§ 8. Перемещение

Определения и обозначения

Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Он показывает, куда и насколько изменилось положение тела. Направление перемещения идёт от начальной точки к конечной, а его модуль обозначают обычно |Δr| или s.

Вектор перемещения — направленный отрезок, заданный начальной и конечной точками движения. На рисунке его проводят прямо от положения, в котором тело находилось сначала, к положению в конце движения. Такой вектор позволяет учитывать не только величину смещения, но и его направление.

Модуль перемещения — длина вектора перемещения. Он равен кратчайшему расстоянию между начальным и конечным положением тела. Модуль нужен, когда требуется узнать численное значение смещения без указания направления.

Путь — длина участка траектории, пройденного телом. Путь учитывает весь маршрут движения, поэтому при поворотах и возвращении назад он продолжает увеличиваться. В отличие от перемещения, путь является скалярной величиной.

Как это устроено

Перемещение определяется только начальным и конечным положением, потому что оно описывает итоговое изменение положения тела. Если эти две точки одинаковы, один и тот же вектор перемещения получится при любом маршруте между ними. Форма траектории влияет на путь, но не меняет вектор, соединяющий её начало и конец.

На рисунке перемещение изображают стрелкой от начальной точки к конечной. Такое направление выбрано не случайно: оно показывает, куда изменилось положение тела. Если поменять начало и конец стрелки местами, получится противоположный вектор, описывающий обратное изменение положения.

При движении вдоль одной прямой удобно выбрать координатную ось. Тогда координатное перемещение равно разности конечной и начальной координат: Δx = x₂ − x₁. Если результат положительный, тело сместилось в сторону положительного направления оси, если отрицательный — в противоположную сторону, а модуль перемещения равен |Δx|.

Сложную траекторию можно мысленно разделить на отдельные участки и заменить каждый участок своим вектором перемещения. Эти векторы складываются по правилу сложения векторов: конец одного соединяют с началом следующего. Поэтому результирующий вектор идёт от начала первого участка к концу последнего и не зависит от промежуточных поворотов.

Модуль перемещения не может быть больше пути, поскольку прямой отрезок между двумя точками короче или равен любой проложенной между ними линии. Равенство возможно, например, при прямолинейном движении без изменения направления. Если тело вернулось в исходную точку, начальное и конечное положения совпали, поэтому перемещение равно нулю, хотя путь остался ненулевым.

Сравнение перемещения и пути

Таблицу удобно использовать, когда нужно определить, какую величину следует искать в задаче. Если описывается весь маршрут, находят путь, а если сравниваются начальное и конечное положения — перемещение. При вычислениях всегда проверяйте направление перемещения и не путайте его модуль с длиной траектории.

Разбор задач

Задача 1

Тело переместилось из точки с координатой x₁ = 2 м в точку с координатой x₂ = 9 м. Требуется найти перемещение и его модуль. Движение происходит вдоль одной прямой, поэтому достаточно сравнить конечную и начальную координаты.

1. Записываем формулу: Δx = x₂ − x₁.
2. Подставляем значения: Δx = 9 м − 2 м = 7 м.
3. Полученный знак положительный, значит, тело сместилось в сторону положительного направления оси. Модуль равен |Δx| = 7 м.

Ответ: перемещение Δx = 7 м, модуль перемещения |Δx| = 7 м.

Задача 2

Пешеход прошёл 300 м на север, затем 400 м на восток. Нужно найти путь, перемещение и модуль перемещения. Участки перпендикулярны, поэтому их можно рассматривать как катеты прямоугольного треугольника.

1. Путь складывается из длин обоих участков: l = 300 м + 400 м = 700 м.
2. Вектор перемещения соединяет начальную точку с конечной, поэтому его модуль не равен 700 м. По теореме Пифагора |Δr| = √(300² + 400²) м = 500 м.
3. Направление результирующего перемещения — от исходной точки к конечной, то есть на северо-восток. Это направление является диагональю построенного прямоугольного треугольника.

Ответ: путь равен 700 м, модуль перемещения — 500 м, направление перемещения — на северо-восток.

Задача 3

Тело прошло по замкнутой траектории и вернулось в исходную точку. Длина траектории равна L. Требуется определить перемещение и путь. Здесь решающим является совпадение начального и конечного положений.

1. Поскольку тело вернулось туда, откуда начало движение, начальная и конечная точки совпали.
2. Вектор, соединяющий совпадающие точки, имеет нулевую длину, поэтому Δr = 0 и |Δr| = 0.
3. Путь равен длине всей пройденной траектории, поэтому l = L. Он не становится нулевым из-за возвращения тела.

Ответ: перемещение равно нулю, а путь равен L.

Типичные ошибки

Считать перемещение равным пути — ошибка, потому что путь учитывает весь маршрут, а перемещение соединяет только начальную и конечную точки. Так думают, когда тело движется по прямой, где величины действительно могут совпасть. Проверьте, меняло ли тело направление и была ли траектория прямолинейной.

Забывать направление перемещения — значит рассматривать вектор только как число. Ошибка возникает при сравнении перемещения с расстоянием или путём. Нарисуйте стрелку от начала к концу движения и укажите направление осей.

Записывать координатное перемещение как x₁ − x₂ неправильно: сначала берут конечную координату, затем вычитают начальную, Δx = x₂ − x₁. Причина ошибки — механическая перестановка букв в формуле. Самопроверка проста: движение вправо по положительной оси должно дать положительный результат.

Нулевое перемещение не означает отсутствия движения. Такое значение получается, если тело вернулось в исходную точку, хотя оно могло пройти большой путь. Сравните начальное и конечное положения, а затем отдельно подсчитайте длину траектории.

Связь с другими темами

До изучения перемещения нужно знать систему отсчёта, координату тела, траекторию, путь и понятие вектора. Эти представления позволяют правильно выбрать ось, определить начальную и конечную точки и описать направление движения.

Перемещение используется при введении скорости и ускорения: эти величины связывают изменение положения с временем. Оно также нужно для описания движения в координатной форме.

С темой связаны сложение и разложение векторов, движение по прямой и движение в плоскости. Эти навыки помогают находить результирующее перемещение при нескольких участках пути.

Что запомнить

• Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела.
• Направление перемещения задаётся от начальной точки к конечной.
• В одномерном движении перемещение равно разности конечной и начальной координат.
• Модуль перемещения не превышает путь.
• Путь — скалярная величина, а перемещение — векторная.
• При возвращении в исходную точку перемещение равно нулю.
• Перемещения отдельных участков складываются как векторы.