"Физика (углублённый уровень)", Касьянов В.А.
Движение тела описывают относительно выбранной системы отсчёта: указывают его положение в каждый момент времени и линию, по которой оно перемещается. Закон движения связывает координаты тела со временем, а траектория показывает геометрическую форму пути. Если исключить время из формул координат, получится уравнение траектории. Оно описывает линию, но не сообщает, как быстро тело движется по ней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Траектория — линия, которую описывает тело при движении. Её можно представить как последовательность положений тела, отмеченных в разные моменты времени. Соединённые в порядке движения точки образуют линию, форма которой помогает понять, по какой дороге движется тело.
Закон движения — зависимость координат тела от времени, задающая его положение в каждый момент. Например, запись x(t) сообщает координату вдоль оси x для выбранного значения времени t. Закон нужен, чтобы находить положение тела не вообще, а в конкретный момент.
Радиус-вектор — вектор, проведённый из начала координат к точке, где находится тело. Если координаты тела равны x, y и z, радиус-вектор можно записать как r = (x, y, z). Его длина показывает расстояние до начала координат, а направление указывает, где именно расположено тело.
Уравнение траектории — зависимость между координатами тела, полученная из закона движения без указания времени. Например, оно может связывать x и y для всех точек линии, по которой перемещается тело. Такое уравнение нужно, чтобы описать форму траектории отдельно от того, как движение разворачивается во времени.
Положение тела всегда описывают относительно выбранной системы отсчёта. Для этого задают начало координат, оси и способ измерять время, иначе значения координат и моменты движения нельзя будет однозначно сопоставить. Например, одна и та же точка может иметь разные координаты относительно разных начал, хотя само тело никуда не переместилось.
Закон движения записывают через координаты, зависящие от времени, или через радиус-вектор, также зависящий от времени. В координатной записи отдельно указывают x(t), y(t) и, если нужно, z(t); в векторной все координаты объединены в r(t). Эти формы равноправны, потому что каждая задаёт положение тела для любого выбранного момента.
Когда координаты известны как функции времени, каждому значению времени соответствует точка пространства. По мере изменения времени тело последовательно занимает такие точки, и они образуют траекторию. Именно поэтому траекторию можно восстановить из закона движения, если рассматривать положения в хронологическом порядке.
Чтобы получить уравнение траектории, из выражений координат исключают время. Тогда остаётся связь между координатами, общая для точек линии; например, если x = 2t и y = 3t, то t = x/2 и y = 3x/2. В результате видна геометрическая форма траектории, но теряется информация о том, когда тело проходит каждую точку и с какой скоростью.
Описание движения зависит от системы отсчёта, потому что при её смене меняются координаты тела и их зависимость от времени. Так, пассажир, бросивший предмет вертикально вверх в движущемся поезде, видит его движение иначе, чем наблюдатель у железной дороги. Поэтому закон движения и траекторию всегда рассматривают вместе с указанием системы отсчёта.
В таблице собраны способы, которые отвечают на разные вопросы о движении: где находится тело, какую линию оно описывает и как задать выбранную систему координат. Сопоставляйте второй и четвёртый столбцы: так проще заметить, какую информацию даёт каждый способ и чего он не сообщает. Если нужно узнать положение в конкретный момент, выбирайте закон движения, а если форму линии — траекторию или её уравнение.
| Понятие или способ | Что описывает | Как задаётся | Что можно определить |
|---|---|---|---|
| Траектория | Линию последовательных положений тела | Геометрической линией | Форму пути, но не время прохождения точек |
| Закон движения в координатной форме | Координаты тела во времени | Функциями x(t), y(t), z(t) | Положение в заданный момент |
| Закон движения в векторной форме | Радиус-вектор тела во времени | Вектором r(t) | Положение тела и его направление относительно начала координат |
| Уравнение траектории | Связь координат на линии движения | Уравнением без времени, например y = f(x) | Геометрический вид траектории |
| Система отсчёта | Способ задавать положение и время | Началом координат, осями и часами | Координаты тела и описание его движения в выбранной системе |
Задача 1. Тело движется по прямой: x(t) = 2 + 3t. Укажите его координату при t = 4 с и опишите траекторию. Здесь закон дан сразу, поэтому сначала подставим время, а затем разберём, как меняется координата при движении. Поскольку задана только координата x, речь идёт о движении вдоль одной прямой.
Ответ: при t = 4 с координата равна 14 м, если значения заданы в метрах; траектория — прямая. Начальная координата 2 задаёт точку старта, а член 3t показывает изменение координаты во времени.
Задача 2. Тело движется по законам x(t) = 2t, y(t) = 3t. Найдите уравнение траектории и определите её вид. Здесь требуется не положение для заданного времени, а связь координат, поэтому время нужно устранить. Выберем выражение, из которого проще всего выразить t.
Ответ: уравнение траектории — y = 3x/2, её вид — прямая. Время исчезло, потому что полученное уравнение описывает взаимное расположение координат, а не момент прохождения точки.
Задача 3. Тело движется по законам x(t) = v₀t, y(t) = gt²/2. Получите уравнение траектории и найдите положение тела в заданный момент времени t₁. Здесь важно разделить два запроса: для геометрической линии исключим время, а для положения подставим t₁ в обе координатные формулы. Величины v₀ и g считаем заданными.
Ответ: уравнение траектории — y = gx²/(2v₀²), а положение в момент t₁ задаётся точкой (v₀t₁; gt₁²/2). Уравнение траектории показывает форму линии, а координаты с индексом t₁ — конкретное место тела в выбранный момент. Эти результаты нельзя подменять друг другом.
Ошибка: считать траекторию и закон движения одним и тем же. Их смешивают, потому что оба описывают движение, однако траектория показывает только линию, а закон — ещё и положение тела в каждый момент. Проверьте себя: если из записи нельзя узнать, где тело находится при t = 4 с, то это не полный закон движения.
Ошибка: называть уравнением траектории зависимость координаты от времени. Так происходит, когда в формуле встречается x или y и её автоматически принимают за уравнение линии. Проверьте запись: в уравнении траектории время исключено, а координаты связаны непосредственно, например y = 3x/2.
Ошибка: забывать о системе отсчёта и считать, что описание движения не зависит от наблюдателя. Координаты задаются относительно начала и осей, поэтому при выборе другой системы они могут измениться. Перед решением проверьте, относительно какой системы задан закон и где находятся её начало координат и оси.
Ошибка: путать радиус-вектор с расстоянием до начала координат. Такое смешение возникает из-за того, что длина радиус-вектора действительно равна этому расстоянию, но сам вектор содержит ещё и направление. Проверьте себя: достаточно ли одного числа, чтобы задать положение? Если нет, используйте вектор или набор координат, а не только его длину.
Для описания движения нужны система отсчёта, координаты точки и векторы; полезно также понимать запись равномерного движения. Закон движения становится основой для изучения скорости и ускорения: изменения координат во времени показывают, как тело перемещается. В задачах кинематики по нему находят положения в заданные моменты и сопоставляют движения разных тел.
Уравнение траектории особенно полезно при разборе движения по кривой и сравнении движения с графиками координат. Оно позволяет увидеть геометрическую связь между координатами, не подставляя время. Но чтобы узнать, когда тело окажется в конкретной точке, снова понадобится закон движения.
Чем траектория отличается от закона движения?
Траектория — это линия, которую описывает тело, а закон движения задаёт его положение в каждый момент времени. По закону можно узнать не только где тело находится, но и когда оно там окажется.
Как по координатам тела получить уравнение траектории?
Нужно взять выражения координат через время и исключить время из этих зависимостей. Оставшаяся связь между координатами и будет уравнением траектории.
Почему в уравнении траектории нет времени?
Уравнение траектории описывает геометрическую линию, а не движение по ней во времени. Поэтому время исключают, связывая координаты напрямую.
Можно ли определить закон движения, зная только траекторию?
Нет, одной траектории недостаточно: по ней нельзя установить, как быстро движется тело и в каком порядке оно проходит точки. Для закона движения нужна дополнительная информация о положении тела во времени.
Почему траектория тела меняется при смене системы отсчёта?
Координаты положения зависят от того, относительно какого начала и осей их измеряют. Например, движущийся предмет может описывать прямую относительно вагона, но кривую относительно Земли.
§ 7. Траектория. Закон движения
