§ 6. Перемещение

Определения и обозначения

Перемещение — изменение положения тела за время движения. Оно определяется начальным и конечным положениями, а не всеми точками траектории: разные маршруты могут начинаться и заканчиваться одинаково. Поэтому понятие перемещения помогает описывать результат движения, не перечисляя весь путь.

Вектор перемещения — вектор, проведённый из начального положения тела в конечное. Его обозначают Δr, а направление задаётся стрелкой от начала движения к его конечному положению. Вектор нужен, чтобы учитывать не только величину изменения положения, но и направление.

Радиус-вектор — вектор, который задаёт положение тела относительно выбранного начала координат. Его начало находится в начале координат, а конец — в точке, где расположено тело. Сравнивая радиус-векторы в начале и конце движения, можно выразить перемещение через положение тела.

Проекция перемещения — алгебраическая величина, показывающая изменение положения вдоль выбранной оси. Она может быть положительной, отрицательной или равной нулю: знак зависит от направления перемещения относительно положительного направления оси. Проекции позволяют вычислять перемещение с помощью координат.

Как это устроено

Положение тела можно задать радиус-вектором, проведённым из начала координат к телу. Пусть в начале движения радиус-вектор равен r₁, а в конце — r₂. Чтобы получить вектор, который переводит начальное положение в конечное, нужно прибавить его к r₁ и получить r₂. Поэтому перемещение выражается разностью Δr = r₂ − r₁.

Траектория показывает все точки, через которые проходит тело, а перемещение соединяет только начало и конец движения. Причина различия проста: путь накапливается по мере движения, тогда как при определении перемещения промежуточные точки не учитываются. Например, при возвращении в исходное место конечное положение совпадает с начальным, поэтому Δr = 0. При этом тело могло пройти заметное расстояние.

В координатной системе вектор удобно представить проекциями на оси. По оси Ox изменение координаты составляет Δx = x₂ − x₁, а по Oy — Δy = y₂ − y₁. Порядок вычитания связан с определением изменения: из конечного значения вычитают начальное. Если проекция положительна, перемещение направлено по положительному направлению оси; если отрицательна — против него.

В плоскости проекции Δx и Δy образуют прямоугольный треугольник, а вектор перемещения является его гипотенузой. Поэтому его модуль находят по теореме Пифагора: |Δr| = √(Δx² + Δy²). Модуль — длина вектора, он не содержит сведений о направлении. Прямая между начальной и конечной точками не длиннее любой траектории, соединяющей их, поэтому модуль перемещения не может превышать путь.

Если движение состоит из нескольких последовательных перемещений, результирующий вектор получают сложением отдельных векторов. Это следует из того, что конец одного перемещения становится началом следующего, а общий результат ведёт из исходной точки в конечную. Промежуточная траектория может меняться, но при одинаковых начальном и конечном положениях результирующее перемещение остаётся тем же. Для расчётов в координатах складывают соответствующие проекции.

Путь и перемещение

Чтобы описать, сколько тело прошло, пользуйтесь путём; чтобы указать, как изменилось его положение, — перемещением. Сравнивая путь с модулем перемещения, проверьте: путь не может быть меньше модуля перемещения.

Разбор задач

Задача 1. Тело переместилось из точки x₁ = 2 м в точку x₂ = 7 м. Найдём проекцию перемещения на ось Ox. Поскольку важен сдвиг координаты, используем конечное значение минус начальное.

1. Записываем формулу: Δx = x₂ − x₁.
2. Подставляем координаты: Δx = 7 м − 2 м = 5 м.
3. Проверяем знак: координата увеличилась, значит, проекция направлена по положительному направлению Ox.

Ответ: Δx = 5 м.

Задача 2. Тело прошло 3 м на восток, затем 4 м на север. Нужно найти модуль перемещения и сравнить его с путём. Направления восток и север перпендикулярны, поэтому отрезки можно считать проекциями результирующего вектора на две оси.

1. Находим модуль перемещения по теореме Пифагора: |Δr| = √(3² + 4²) м = 5 м.
2. Путь складываем как длины двух участков: s = 3 м + 4 м = 7 м.
3. Сравниваем результаты: 5 м меньше 7 м, поскольку путь учитывает поворот, а перемещение соединяет начало маршрута с его концом.

Ответ: модуль перемещения равен 5 м, путь равен 7 м.

Задача 3. Тело движется по окружности радиусом 5 м и проходит половину окружности. Путь — это длина пройденной дуги, а перемещение соединяет концы этой дуги. После половины оборота концы дуги оказываются на противоположных концах диаметра.

1. Длина всей окружности равна 2πR, поэтому путь за половину окружности: s = πR.
2. Подставляем R = 5 м: s = 5π м ≈ 15,7 м.
3. Модуль перемещения равен длине диаметра: |Δr| = 2R = 10 м. Сравнение показывает, что дуга длиннее прямого отрезка между её концами.

Ответ: путь равен 5π м (примерно 15,7 м), модуль перемещения — 10 м.

Типичные ошибки

Путь и перемещение иногда считают одной величиной, потому что оба описывают движение и измеряются в метрах. Но путь складывается вдоль траектории, а перемещение соединяет только её начальную и конечную точки. Проверьте себя: если маршрут изменится, но его концы останутся прежними, путь может измениться, а перемещение — нет.

Вектор перемещения нередко заменяют его модулем, поскольку модуль проще представить как длину. Однако он не указывает направление, поэтому одних модулей недостаточно для сложения перемещений. Перед сложением убедитесь, что учитываете направления векторов или знаки их проекций.

При вычислении проекции можно по ошибке вычесть конечную координату из начальной. Так теряется смысл изменения координаты: результат должен показывать переход от начального значения к конечному. Проверьте порядок подстановки по формуле Δx = x₂ − x₁ и по знаку: движение вправо по оси Ox должно давать положительную проекцию.

Иногда после возвращения тела в исходную точку перемещение считают ненулевым, принимая за него пройденное расстояние. Это происходит, если не различать конец маршрута и длину маршрута. Сравните начальное и конечное положения: если они совпадают, вектор перемещения равен нулю независимо от пути.

Связь с другими темами

Чтобы описать положение тела и его перемещение, нужно знать систему отсчёта, координаты и начало координат. Без выбранного начала нельзя задать радиус-вектор, а без осей — определить проекции перемещения. Значит, сначала задают, относительно чего и в каком направлении измеряют положение.

Перемещение помогает перейти к описанию скорости и ускорения. Скорость характеризует изменение положения за время, а ускорение связано с изменением скорости. Поэтому понимание перемещения нужно, чтобы разбирать, как движение меняется во времени.

Сложение нескольких перемещений связано с правилами сложения векторов. В координатной форме складывают проекции на соответствующих осях, учитывая их знаки. Это позволяет находить общий результат движения по отдельным участкам.

Что запомнить

• Перемещение — вектор из начального положения в конечное.
• Δr = r₂ − r₁.
• Проекция перемещения равна разности конечной и начальной координат.
• Путь зависит от траектории, перемещение — только от её концов.
• Модуль перемещения не превышает пройденного пути.
• При возвращении в исходное положение перемещение равно нулю.