§ 2 Перемещение

Определения и обозначения

Перемещение — изменение положения тела; оно определяется начальным и конечным положениями. Поэтому для его нахождения не требуется знать каждую точку маршрута: достаточно установить, где тело было и где оказалось. Это помогает отличать результат движения от самого пути, которым тело добралось до цели.

Вектор перемещения — вектор, проведённый из начального положения тела в конечное. Вектор — величина, у которой есть и числовое значение, и направление; перемещение обычно обозначают s⃗ или Δr⃗. По направлению стрелки сразу видно, в какую сторону изменилось положение тела, а это важно для точного описания движения.

Модуль перемещения — длина вектора перемещения, то есть расстояние по прямой между начальным и конечным положениями. Его обозначают |s⃗| или просто s, если из контекста ясно, что речь идёт о длине вектора. Модуль показывает, насколько далеко друг от друга оказались начальная и конечная точки, но не сообщает направление.

Как это устроено

Путь сообщает, сколько всего тело прошло по маршруту, но сам по себе не говорит, где тело оказалось. Например, два ученика могут пройти одинаковое расстояние, но прийти в разные места или вернуться каждый к своей начальной точке. Поэтому для описания результата движения нужно сопоставить положение тела в начале и в конце, а путь и перемещение отвечают на разные вопросы.

Чтобы построить вектор перемещения, отметьте начальное и конечное положения тела, соедините их отрезком и поставьте стрелку от первой точки ко второй. Если тело шло по извилистому маршруту, вектор всё равно не повторяет изгибы пути: его концы остаются в тех же начальной и конечной точках. Такое построение позволяет наглядно увидеть и направление изменения положения, и прямое расстояние между точками.

Перемещение является векторной величиной, потому что без направления нельзя полностью описать, куда сместилось тело. Путь — скалярная величина: для него достаточно одного числа, длины маршрута. Путь часто обозначают s, а перемещение — s⃗ или Δr⃗; обе величины измеряют в метрах, однако одинаковые единицы не делают их одним и тем же понятием.

Если тело движется по прямой, удобно выбрать ось и договориться, какое направление считать положительным. Перемещение тогда равно конечной координате минус начальная: Δx = x₂ − x₁. Положительный результат означает движение в сторону выбранного направления, отрицательный — в противоположную, а модуль |Δx| показывает расстояние между точками без указания направления.

При движении по замкнутому маршруту тело возвращается туда, откуда начало путь. Начальное и конечное положения совпадают, поэтому вектор между ними имеет нулевую длину и перемещение равно нулю. Путь при этом может быть большим нуля: тело прошло маршрут, хотя его положение в конце не изменилось.

Путь и перемещение: сравнение

Сначала определите, о чём спрашивает задача: о длине маршрута или об изменении положения. Для пути складывайте участки, а перемещение ищите по начальной и конечной точкам. При прямолинейном движении со сменой направления эти величины могут различаться.

Разбор задач

1. Движение по прямой

Тело переместилось по прямой из точки с координатой 2 м в точку с координатой 7 м. Найдите перемещение и его модуль. Координаты заданы относительно одной оси, поэтому достаточно вычесть начальное значение из конечного. Знак покажет направление, а модуль — величину перемещения без направления.

1. Записываем начальную координату: x₁ = 2 м, конечную: x₂ = 7 м.
2. Находим перемещение: Δx = x₂ − x₁ = 7 м − 2 м = 5 м.
3. Поскольку результат положительный, тело переместилось в сторону положительного направления оси. Модуль равен |Δx| = 5 м.

Ответ: перемещение равно 5 м в положительном направлении оси, модуль перемещения — 5 м. Если бы координаты поменялись местами, знак перемещения стал бы отрицательным, но модуль остался бы положительным. Поэтому в ответе полезно отдельно указывать направление и длину вектора.

2. Движение на восток и север

Ученик прошёл 3 м на восток, затем 4 м на север. Требуется найти модуль его перемещения, а не длину маршрута. Направления восток и север взаимно перпендикулярны, поэтому конечная точка образует с начальной прямоугольный треугольник. Его катеты равны 3 м и 4 м, а гипотенуза — модуль перемещения.

1. Представляем участки пути как два вектора под прямым углом.
2. По теореме Пифагора находим длину вектора между началом и концом: |s⃗| = √(3² + 4²) м.
3. Вычисляем: |s⃗| = √25 м = 5 м.

Ответ: модуль перемещения равен 5 м. Для сравнения, путь составил 3 м + 4 м = 7 м, потому что ученик прошёл оба участка целиком. Эти числа различаются: вектор перемещения соединяет только начальную и конечную точки.

3. Возвращение по прямоугольному маршруту

Тело прошло по прямоугольному маршруту со сторонами 6 м и 8 м, после чего вернулось в начальную точку. Найдите путь и перемещение за весь маршрут. Периметр прямоугольника включает по две стороны каждой длины, а конец маршрута совпадает с его началом. Поэтому путь нужно посчитать по всем сторонам, а перемещение определить отдельно по положениям тела.

1. Складываем длины четырёх участков: путь = 6 м + 8 м + 6 м + 8 м.
2. Получаем путь: 28 м.
3. Так как конечная точка совпала с начальной, вектор перемещения не имеет длины: перемещение равно нулю.

Ответ: путь равен 28 м, перемещение равно 0 м. Расчёт показывает, почему нельзя подменять перемещение длиной маршрута. Для перемещения важны только две конечные точки движения, даже если между ними тело прошло большой путь.

Типичные ошибки

Ошибка — считать путь и модуль перемещения одним и тем же. Так бывает только при движении по прямой без смены направления, когда тело не возвращается назад и маршрут совпадает с отрезком между началом и концом. Путают их из-за одинаковых единиц измерения; проверьте себя, сравнив длину маршрута с прямым расстоянием между его концами.

Ошибка — указывать только число перемещения и забывать о направлении. Тогда непонятно, в какую сторону изменилось положение тела, хотя именно направление отличает вектор от скалярной величины. Перед ответом нарисуйте стрелку от начальной точки к конечной или укажите знак относительно оси.

Ошибка — вычитать координаты в обратном порядке и считать начальную координату минус конечную. Это даёт неверный знак направления, потому что перемещение на прямой по определению считают как конечная координата минус начальная: Δx = x₂ − x₁. Для проверки подставьте координаты в таком порядке и убедитесь, что положительное движение вдоль выбранной оси даёт положительный результат.

Ошибка — считать, что при ненулевом пути перемещение обязательно ненулевое. Это неверно, если тело вернулось в точку старта: путь накопился, но положения в начале и конце совпали. Проверяйте конечные точки маршрута, а не только то, двигалось ли тело.

Связь с другими темами

Положение тела задают относительно выбранного тела отсчёта и системы координат — набора правил, позволяющего описывать, где находится тело. Без такой договорённости нельзя однозначно определить начальную и конечную точки, а значит, и перемещение. Выбор оси также помогает установить направление и знак перемещения.

Понятие перемещения понадобится при изучении скорости: оно помогает описать изменение положения за определённое время. В задачах на движение важно различать перемещение и путь, потому что они могут иметь разные значения. Например, при возвращении в исходную точку путь не равен нулю, а перемещение равно нулю.

Что запомнить

• Перемещение соединяет начальное положение тела с конечным.
• Вектор перемещения направлен от начального положения к конечному.
• Перемещение — векторная величина, а путь — скалярная.
• Модуль перемещения не превышает пройденный путь.
• При возвращении в начальную точку перемещение равно нулю.
• На прямой перемещение учитывает направление движения.