§ 3 Определение координаты движущегося тела

Определения и обозначения

Координата тела — число, задающее его положение на выбранной координатной оси. Чтобы это число имело смысл, нужно знать начало отсчёта и положительное направление оси. Координата помогает описать положение тела без длинного словесного объяснения.

Начальная координата — координата тела в момент начала наблюдения, обозначаемая x₀. Этот момент принимают за t = 0, но само значение x₀ не обязано быть нулём. Оно нужно, чтобы учесть, откуда тело начало движение.

Проекция скорости — составляющая скорости вдоль выбранной оси, обозначаемая vₓ. Она показывает, насколько быстро и в какую сторону меняется координата. Её знак нужен, чтобы в расчёте отличать движение вдоль положительного направления оси от движения против него.

Уравнение движения — зависимость координаты тела от времени. По нему можно вычислить положение тела в выбранный момент, если известны начальная координата и скорость. Для равномерного прямолинейного движения используют запись x = x₀ + vₓt.

Как это устроено

Сначала выбирают систему отсчёта: начало координат, ось с положительным направлением и момент, с которого считают время. Без этого нельзя однозначно сказать, что означает число, обозначающее положение тела. Например, одна и та же точка может иметь разные координаты, если перенести начало оси. Поэтому координаты и движение описывают только относительно выбранной системы.

При равномерном прямолинейном движении проекция скорости не меняется. Это значит, что за равные промежутки времени координата изменяется на одинаковую величину. За время t изменение координаты равно произведению проекции скорости на время: Δx = vₓt. Если тело движется вдоль положительного направления, изменение положительно, а если против него — отрицательно.

Чтобы получить координату в момент t, к начальному положению прибавляют изменение координаты: x = x₀ + vₓt. Здесь x₀ задаёт положение при t = 0, а слагаемое vₓt показывает, насколько оно изменилось за время движения. Эта формула и называется уравнением движения. По ней можно найти координату, а при известных координате и скорости — определить время.

Знак скорости связан не с тем, движется тело или покоится, а с выбранным направлением оси. Если тело едет в сторону, принятую за положительную, vₓ положительна; при движении в обратную сторону она отрицательна. Поэтому перед подстановкой нужно сравнить направление движения и направление оси. Иначе формула покажет изменение координаты не в ту сторону.

Для движения в плоскости или пространстве одного числа обычно недостаточно: положение задают несколько координат. Тогда изменение каждой координаты рассчитывают отдельно, используя соответствующую проекцию скорости. Например, вдоль осей Ox и Oy записывают x = x₀ + vₓt и y = y₀ + vᵧt. Такой способ позволяет определить положение тела сразу по нескольким направлениям.

Величины в уравнении равномерного прямолинейного движения

Сначала определите, какие величины известны, а какую требуется найти. Затем проверьте, что значения записаны в единицах СИ, и подставьте их в x = x₀ + vₓt. Знак проекции скорости выбирайте по направлению движения относительно оси.

Разбор задач

Задача 1. Тело движется вдоль оси Ox со скоростью 3 м/с, а при t = 0 находится в точке x₀ = 2 м. Требуется записать уравнение движения и найти координату через 4 с. Скорость направлена вдоль положительного направления оси, поэтому её проекция положительна.

1. Записываем формулу равномерного движения: x = x₀ + vₓt.
2. Подставляем x₀ = 2 м и vₓ = 3 м/с: x = 2 + 3t. Это уравнение движения тела.
3. Для t = 4 с получаем x = 2 + 3 · 4 = 14 м. Координата увеличилась, потому что тело движется в положительном направлении.

Ответ: x = 2 + 3t; через 4 с координата равна 14 м.

Задача 2. Тело находится в точке x₀ = 10 м и движется со скоростью 2 м/с против положительного направления оси. Нужно найти координату через 3 с. Поскольку направление движения противоположно выбранному положительному направлению, проекция скорости будет отрицательной.

1. Задаём проекцию скорости: vₓ = −2 м/с. Величина скорости равна 2 м/с, но в уравнение входит именно проекция со знаком.
2. Подставляем данные в формулу: x = 10 + (−2)t, то есть x = 10 − 2t. Отрицательный член показывает уменьшение координаты со временем.
3. Подставляем t = 3 с: x = 10 − 2 · 3 = 4 м. Тело ещё не прошло начало координат, поэтому его координата остаётся положительной.

Ответ: через 3 с координата тела равна 4 м.

Задача 3. Координата тела задаётся законом x = 18 − 4t, где величины выражены в единицах СИ. Нужно определить начальную координату, проекцию скорости и момент, когда тело будет в точке x = 2 м. Сравним данную запись с общей формой x = x₀ + vₓt.

1. Свободный член уравнения равен начальной координате, поэтому x₀ = 18 м. Коэффициент при t равен проекции скорости: vₓ = −4 м/с.
2. Для поиска времени подставляем x = 2 м: 2 = 18 − 4t. Переносим слагаемые: 4t = 16, откуда t = 4 с.
3. Проверяем результат: при t = 4 с координата равна 18 − 4 · 4 = 2 м. Полученное время положительно и согласуется с условием.

Ответ: x₀ = 18 м, vₓ = −4 м/с, тело окажется в точке x = 2 м через 4 с.

Типичные ошибки

• Считать скорость всегда положительной — значит не учитывать направление оси. Так ошибаются, когда смешивают модуль скорости и её проекцию. Перед подстановкой сравните направление движения с положительным направлением оси: при движении против него у vₓ должен быть знак минус.

• Принимать начальную координату за ноль неверно: тело может начать наблюдаемое движение в любой точке. Ошибка возникает из-за того, что момент t = 0 путают с началом координат. Проверьте условие: если при нулевом времени тело находится не в начале оси, подставьте указанное значение x₀.

• Подставлять минуты или километры в час без перевода в единицы СИ нельзя, если остальные величины записаны в секундах и метрах в секунду. Несогласованные единицы дают неправильный результат даже при верной формуле. Перед вычислением переведите время в секунды, а скорость — в метры в секунду.

• Координата и пройденный путь — разные величины: координата обозначает положение относительно начала оси, а путь — длину траектории. Их путают, потому что обе величины связаны с движением. Проверьте смысл ответа: путь не бывает отрицательным, а координата может иметь любой знак и зависит от выбора системы отсчёта.

Связь с другими темами

Для работы с координатой нужны понятия системы отсчёта, координатной оси, пути, перемещения и скорости. Они помогают задать положение тела, описать его движение и определить проекцию скорости. Уравнение движения используют в задачах на встречу и догоняние: записав уравнения для тел, можно сравнить их координаты. Оно также связано с графиками зависимости координаты от времени, где движение можно проследить по изменению x.

Что запомнить

• Координата зависит от выбранной системы отсчёта.
• Начальная координата относится к моменту t = 0.
• Для равномерного прямолинейного движения x = x₀ + vₓt.
• Знак vₓ показывает направление движения относительно оси.
• В уравнении движения координата измеряется в метрах, время — в секундах, скорость — в метрах в секунду.
• В пространстве уравнение записывают отдельно для каждой координаты.