§ 4 Перемещение при прямолинейном равномерном движении

Определения и обозначения

Прямолинейное равномерное движение — движение по прямой, при котором тело за равные промежутки времени совершает равные перемещения. Значит, за каждую секунду тело смещается на одинаковую величину в одном направлении. Такое описание позволяет связать положение тела со временем.

Перемещение — вектор, соединяющий начальное положение тела с конечным; он направлен от начального положения к конечному. Вектор — величина, у которой есть и значение, и направление. Перемещение обозначают s⃗, и оно помогает описать изменение положения тела, не перечисляя весь его путь.

Проекция перемещения — составляющая вектора перемещения вдоль выбранной оси. На прямой её находят как разность конечной и начальной координат: sₓ = x − x₀. Эта величина нужна, когда движение описывают числами на координатной оси, а не рисунком со стрелкой.

Проекция скорости — составляющая вектора скорости вдоль выбранной оси; при прямолинейном равномерном движении она постоянна. Её обозначают vₓ, а знак показывает направление движения относительно оси. По этой проекции можно находить изменение координаты за заданное время.

Как это устроено

Перемещение и путь отвечают на разные вопросы. Перемещение говорит, где тело оказалось относительно начального положения, поэтому его задают вектором; путь показывает, сколько траектории пройдено, и является длиной. Например, после возвращения в начальную точку перемещение равно нулю, но путь больше нуля. При движении по прямой без смены направления численные значения пути и перемещения могут совпасть.

При равномерном движении скорость показывает, какое перемещение тело совершает за единицу времени. За время t оно совершает t таких равных «порций» перемещения, поэтому полный вектор перемещения равен s⃗ = v⃗t. Если скорость измерена в метрах в секунду, а время — в секундах, произведение даёт перемещение в метрах. Для расчётов вдоль оси используют проекции: sₓ = vₓt.

Координаты позволяют выразить проекцию перемещения без построения вектора. Если сначала тело имело координату x₀, а затем оказалось в точке x, изменение координаты равно конечному значению минус начальному: sₓ = x − x₀. Именно такой порядок вычитания показывает, куда тело сместилось. Например, переход от −2 м к 7 м даёт положительную проекцию, потому что конечная координата больше начальной.

Положительное направление оси выбирают заранее, и движение вдоль него имеет положительную проекцию скорости. Если тело движется в противоположную сторону, проекция скорости отрицательна: это не означает, что скорость тела «меньше нуля», а только указывает направление. Поэтому в формуле sₓ = vₓt знак влияет на направление смещения. При t > 0 отрицательная проекция скорости даёт отрицательную проекцию перемещения.

Проекция перемещения показывает изменение координаты, но не положение тела само по себе. Чтобы получить координату в момент времени t, к начальной координате x₀ нужно прибавить изменение sₓ: x = x₀ + sₓ. Подставляя формулу проекции перемещения, получаем x = x₀ + vₓt. Начальная координата нужна потому, что тело может начать движение не из начала координат.

Величины и соотношения при прямолинейном равномерном движении

Сначала определите, нужна ли вам величина целиком (вектор) или её проекция на ось. Для расчётов на прямой обычно удобны sₓ = vₓt и x = x₀ + vₓt. Проверяйте единицы и не убирайте знак у скорости или координаты.

Разбор задач

Движение в положительном направлении

Тело движется со скоростью 3 м/с в течение 4 с. Найдём проекцию перемещения, если направление движения совпадает с положительным направлением оси. В этом случае проекция скорости положительна: vₓ = 3 м/с. Используем связь проекции перемещения со скоростью и временем.

1. Записываем формулу: sₓ = vₓt. Она подходит, потому что движение равномерное, а время и проекция скорости известны.
2. Подставляем значения: sₓ = 3 м/с · 4 с = 12 м. Секунды сокращаются, поэтому результат выражен в метрах.
3. Проверяем направление: значение положительное, значит, смещение направлено вдоль положительной оси.

Ответ: sₓ = 12 м.

Перемещение по начальной и конечной координатам

Начальная координата тела равна −2 м, конечная — 7 м. Нужно найти проекцию перемещения и указать направление относительно оси. Координаты уже содержат знаки, поэтому их важно сохранить. Вычислим конечную координату минус начальную.

1. Записываем связь: sₓ = x − x₀. Здесь x = 7 м, а x₀ = −2 м.
2. Подставляем числа: sₓ = 7 м − (−2 м) = 9 м. Вычитание отрицательного числа превращается в сложение.
3. Положительный результат означает, что тело сместилось в сторону положительного направления оси. Это согласуется с тем, что координата выросла от −2 м до 7 м.

Ответ: sₓ = 9 м, направление — вдоль положительной оси.

Координата при отрицательной скорости

В момент t₀ = 2 с тело находится при координате x₀ = 5 м и движется равномерно со скоростью vₓ = −3 м/с. Требуется определить координату через 4 с после этого момента. Отрицательный знак скорости говорит, что тело движется против положительного направления оси. Сначала найдём время движения от известного положения.

1. Вычисляем промежуток времени: Δt = 4 с − 2 с = 2 с. Формулу применяем к этому интервалу, начиная с координаты 5 м.
2. Находим изменение координаты: sₓ = vₓΔt = (−3 м/с) · 2 с = −6 м. Отрицательное значение подтверждает движение против оси.
3. Прибавляем изменение координаты к начальной: x = x₀ + sₓ = 5 м + (−6 м) = −1 м.

Ответ: через 4 с координата тела будет −1 м.

Типичные ошибки

Считать перемещение и путь одной величиной — ошибка: путь измеряет длину траектории, а перемещение соединяет начальную и конечную точки. Их значения совпадают лишь в отдельных случаях, например при движении по прямой без смены направления. Путаница возникает потому, что в простых задачах ответы иногда одинаковы. Проверьте себя вопросом: вернулось ли тело или меняло ли направление?

Записывать sₓ = x₀ − x неверно: так меняется знак результата. Проекция перемещения определяется как конечная координата минус начальная, sₓ = x − x₀. Ошибка часто появляется из-за невнимания к словам «начальная» и «конечная». Для проверки подставьте координаты в обратном порядке движения и убедитесь, что знак соответствует направлению смещения.

Игнорировать знак проекции скорости — значит потерять сведения о направлении. Отрицательная скорость не означает ошибку в условии: она показывает движение против положительного направления оси. Модуль скорости при этом положителен, но проекция может быть отрицательной. Проверяйте знак перед вычислением sₓ = vₓt и сопоставляйте его с выбранной осью.

Использовать x = vₓt вместо формулы координаты можно только при особом выборе начала координат и момента отсчёта. В общем случае тело стартует из точки с координатой x₀, поэтому нужно писать x = x₀ + vₓt. Ошибка возникает, когда изменение координаты принимают за саму координату. Проверьте, задано ли начальное положение: если да, оно должно участвовать в вычислении.

Связь с другими темами

Для описания движения нужны координатная ось, координата тела, скорость и время. Важно уметь сравнивать координаты и работать со знаками: без выбранного направления нельзя определить знак проекции скорости или перемещения. Эти знания связывают словесное описание движения с вычислениями. Они также помогают правильно читать положение тела на координатной прямой.

Формула x = x₀ + vₓt пригодится при построении графика координаты от времени: она показывает, как координата меняется с течением времени. Постоянная проекция скорости лежит в основе графика скорости. Понятия перемещения и проекций также нужны в задачах на относительность движения, где сравнивают движение тел относительно разных наблюдателей. Во всех этих задачах необходимо следить за выбранными осями и знаками.

Что запомнить

• Перемещение — вектор от начального положения к конечному.
• При прямолинейном равномерном движении проекция перемещения равна произведению проекции скорости на время.
• Проекция перемещения равна конечной координате минус начальная.
• Координата тела равна начальной координате плюс проекция перемещения.
• Знак проекции скорости показывает направление движения относительно оси.