"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. / Под ред. Парфентьевой Н.А.
Скорость тела зависит от того, относительно чего наблюдают его движение. Например, пешеход в вагоне движется относительно вагона и одновременно переносится вместе с ним относительно земли. Чтобы определить скорость тела для неподвижного наблюдателя, складывают относительную скорость и скорость подвижной системы отсчёта. Это сложение выполняют как векторное: учитывают не только значения скоростей, но и их направления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта — вектор, описывающий изменение положения тела в этой системе. Неподвижной здесь называют систему, выбранную для наблюдения, а не обязательно абсолютно неподвижную во Вселенной. Например, можно считать такой системой землю и измерять движение пешехода относительно неё. Это понятие нужно, чтобы точно указать, относительно какого наблюдателя задана скорость.
Относительная скорость — скорость тела, измеренная в подвижной системе отсчёта. Так, скорость пассажира относительно вагона показывает, как быстро пассажир меняет положение по отношению к вагону. Величину обычно обозначают vотн. Она нужна, когда тело движется внутри другого объекта или относительно него.
Переносная скорость — скорость подвижной системы отсчёта относительно выбранной неподвижной системы. Если человек идёт по вагону, то скорость вагона относительно земли является переносной. Её можно обозначить vпер. Эта скорость показывает, как движение самой системы влияет на движение тела для внешнего наблюдателя.
Правило сложения скоростей связывает скорость тела в неподвижной системе со скоростью в подвижной системе и переносной скоростью. В классической механике эти величины складываются как векторы. Запись v = vотн + vпер позволяет найти скорость тела для нужного наблюдателя. Без указания систем отсчёта эта формула теряет смысл: сравнивать нужно правильно определённые скорости.
Представим тело, которое движется внутри подвижной системы, например человека в вагоне. Его положение относительно земли складывается из двух частей: положения относительно вагона и положения самого вагона относительно земли. Если вагон сдвинулся, а человек прошёл внутри него, расстояние человека от начальной точки на земле изменилось из-за обоих движений. Поэтому зависимость положения содержит два слагаемых, а скорость получают, рассматривая изменение каждого из них за одно и то же время.
Из этой связи положений следует правило v = vотн + vпер. Скорость — это изменение положения за единицу времени, поэтому скорость тела относительно земли учитывает и перемещение внутри подвижной системы, и перемещение самой системы. В классической механике время для этих описаний считается одинаковым. Складывать нужно именно векторы, поскольку изменение положения имеет и величину, и направление.
Когда оба движения происходят вдоль одной прямой, направлению можно условно приписать знак. Если тело движется в ту же сторону, что и подвижная система, его перемещение за время складывается с перемещением системы, поэтому модули скоростей складывают. Если направления противоположны, перемещения частично компенсируют друг друга. Тогда модуль результирующей скорости равен разности модулей, а направление совпадает с направлением большей скорости.
При движении под углом направления нельзя описать одним знаком. Векторы складывают геометрически: их можно отложить от общего начала и построить параллелограмм, диагональ которого показывает результирующую скорость. Если угол между векторами равен α, модуль суммы находят по формуле √(v₁² + v₂² + 2v₁v₂ cos α). Например, при перпендикулярных скоростях получается прямоугольный треугольник, поэтому применяют теорему Пифагора; просто сложить модули в общем случае нельзя.
Чтобы решить задачу, сначала выбирают неподвижную и подвижную системы отсчёта. Затем подписывают, какая скорость дана относительно какой системы, и отмечают направления векторов на схеме или мысленно. После этого записывают векторное соотношение v = vотн + vпер и выбирают способ расчёта: сложение или вычитание модулей на прямой либо геометрическое сложение при угле. В конце полезно проверить, соответствует ли направление ответа реальному движению.
| Ситуация | Связь скоростей | Как найти модуль результирующей скорости |
|---|---|---|
| Скорости сонаправлены | v = vотн + vпер | v = vотн + vпер |
| Скорости противоположно направлены | v = vотн + vпер как векторы | v = |vотн − vпер| |
| Скорости направлены под углом α | v = v₁ + v₂ как векторы | v = √(v₁² + v₂² + 2v₁v₂ cos α) |
Сначала найдите строку, которая соответствует направлениям скоростей в задаче, а затем примените указанную связь. Для противоположных векторов разность модулей даёт величину скорости, но направление результата нужно определить отдельно. Если угол не равен 0° или 180°, используйте правило сложения векторов, а не простое сложение чисел.
Пешеход идёт по вагону со скоростью 1,5 м/с относительно вагона. Вагон движется по прямому участку со скоростью 10 м/с. Найдём скорость пешехода относительно земли, если он идёт по ходу вагона. В этой задаче вагон — подвижная система, а земля — неподвижная.
Ответ: 11,5 м/с по ходу вагона. Результат больше скорости вагона, потому что пешеход дополнительно движется вперёд внутри него.
Лодка движется относительно воды со скоростью 4 м/с поперёк берега, а течение направлено вдоль берега со скоростью 3 м/с. Найдём скорость лодки относительно берега и направление её движения. Векторы скорости лодки относительно воды и течения перпендикулярны.
Ответ: 5 м/с, примерно под углом 37° к направлению поперёк берега в сторону течения. Если направление отсчитывать от берега, угол будет дополнительным до 90°.
Ширина реки равна 120 м. Скорость катера относительно воды составляет 5 м/с и направлена перпендикулярно берегу, а скорость течения равна 3 м/с. Требуется найти время переправы и смещение вдоль берега. Движение удобно разделить на поперечную и продольную составляющие.
Ответ: время переправы — 24 с, смещение вдоль берега — 72 м по течению. Это смещение не увеличивает время, поскольку направлено параллельно берегу, а не к нему.
Первая ошибка — складывать модули скоростей, не учитывая направления. Так поступают, когда запоминают формулу как действие с числами и не строят векторы. При противоположном движении модули нужно вычитать, а при движении под углом требуется геометрическое сложение. Проверьте себя: изобразите стрелки скоростей и определите, куда направлена их сумма.
Вторая ошибка — путать, относительно какой системы отсчёта задана каждая скорость. Из-за этого можно подставить в формулу величины, которые описывают движение относительно разных наблюдателей, но не образуют нужную пару. Перед вычислением подпишите возле каждой скорости слова «относительно вагона», «относительно воды» или «относительно земли». Если система не указана, уточните её по условию.
Третья ошибка — менять местами относительную и переносную скорости. Обычно это происходит, если не определить заранее, что именно движется внутри чего. Относительная скорость описывает тело в подвижной системе, а переносная — движение самой системы относительно неподвижной. Для проверки сформулируйте обе величины словами: кто движется и относительно какого объекта.
Четвёртая ошибка — применять классическое правило при скоростях, близких к скорости света. В обычных механических задачах скорость света настолько велика по сравнению с движением тел, что классическая формула даёт достаточный результат. При околосветовых скоростях это приближение уже неверно и нужно использовать релятивистский закон сложения скоростей. Проверьте масштаб заданных величин и условие задачи.
Для сложения скоростей нужно уметь находить скорость, понимать, что такое вектор, выбирать систему отсчёта и складывать векторы. Эти знания объясняют, почему результат зависит не только от чисел, но и от направлений. Правило применяют, описывая движение транспорта, лодки на течении и тела относительно движущихся объектов. Тема также подготавливает к изучению относительности механического движения и релятивистского сложения скоростей.
Почему скорость одного и того же тела может быть разной в разных системах отсчёта?
Скорость показывает, как меняется положение тела относительно выбранной системы отсчёта. Например, пассажир сидит неподвижно относительно вагона, но движется относительно земли вместе с вагоном.
Как понять, какую скорость считать переносной?
Переносная скорость — это скорость подвижной системы отсчёта относительно выбранной неподвижной системы. Если рассматривают человека в вагоне относительно земли, переносной будет скорость вагона относительно земли.
Когда скорости складывают, а когда вычитают?
Складывают не числа, а векторы скоростей. На одной прямой при совпадающих направлениях модули складывают, а при противоположных — вычитают.
Как найти результирующую скорость, если направления не совпадают?
Нужно сложить векторы с учётом их направлений, например построить параллелограмм. Для двух скоростей, угол между которыми равен α, модуль суммы равен √(v₁² + v₂² + 2v₁v₂ cos α).
Всегда ли можно пользоваться классическим правилом сложения скоростей?
В школьных задачах классическое правило применяют, если скорости намного меньше скорости света. При скоростях, близких к скорости света, используют релятивистский закон сложения скоростей.
§10. Сложение скоростей
