"Физика. Базовый и профильный уровни", Тихомирова С.А., Яворский Б.М.
Скорость описывает движение не сама по себе, а относительно выбранной системы отсчёта. Поэтому пассажир может покоиться относительно автобуса и одновременно двигаться относительно дороги. Чтобы перейти от одной системы отсчёта к другой, используют правило сложения скоростей: скорость тела относительно одной системы равна векторной сумме его скорости относительно другой системы и скорости движения этих систем. Направления векторов определяют, складывать ли модули или находить их разность.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система отсчёта — это тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы. Координаты показывают, где находится тело, а часы позволяют сравнивать его положение в разные моменты времени. Скорость указывают относительно выбранной системы, потому что само движение описывают через изменение координат именно в ней.
Скорость тела относительно системы отсчёта — вектор, который показывает изменение положения тела за единицу времени в этой системе. Обозначение v(A/1) читают как «скорость тела A относительно системы 1». Такое уточнение нужно, чтобы не спутать скорость одного тела, измеренную разными наблюдателями.
Относительная скорость — скорость одного тела относительно другого. Чтобы её найти, выбирают систему отсчёта, связанную со вторым телом: тогда его скорость в этой системе равна нулю. Например, скорость автомобиля относительно другого автомобиля удобно рассматривать из системы, движущейся вместе с этим другим автомобилем.
Сложение скоростей — правило нахождения скорости тела в одной системе по его скорости в другой и скорости движения самих систем друг относительно друга. В записи v(A/1) = v(A/2) + v(2/1) каждая скорость снабжена обозначениями тела и системы, относительно которой её измеряют. Это помогает выбрать именно те скорости, которые связывают условие задачи с искомой величиной.
Описание движения зависит от системы отсчёта, потому что координаты тела отсчитывают от выбранного тела отсчёта. Пассажир, сидящий в поезде, не меняет положения относительно вагона, но меняет его относительно земли. Противоречия здесь нет: наблюдатели сравнивают положение пассажира с разными телами. Поэтому прежде чем говорить о скорости, нужно уточнить, относительно чего её измерили.
Рассмотрим тело, которое перемещается внутри движущейся системы, например пассажира в вагоне. За один и тот же промежуток времени пассажир смещается относительно вагона, а сам вагон — относительно земли. Его перемещение относительно земли складывается из этих двух перемещений, потому что итоговое положение получается последовательным переходом от начальной точки к конечной через положение внутри вагона. В векторной записи: Δr(A/1) = Δr(A/2) + Δr(2/1).
Чтобы получить связь скоростей, разделим обе части равенства перемещений на один и тот же промежуток времени Δt. Поскольку скорость равна отношению перемещения ко времени, получим v(A/1) = v(A/2) + v(2/1). Иными словами, скорость тела относительно первой системы равна сумме его скорости относительно второй и скорости второй системы относительно первой. Порядок обозначений важен: скорость системы 2 относительно системы 1 направлена от описания движения системы 2 к наблюдению из системы 1.
Скорости складывают как векторы, поскольку перемещение имеет не только величину, но и направление. Если тело движется на север, а движущаяся платформа — на восток, их воздействия на итоговое перемещение направлены по-разному. Одного сложения числовых значений недостаточно: оно не покажет, куда направлен результат. Поэтому сначала складывают векторы, а затем, если требуется, находят модуль получившейся скорости.
На одной прямой направления можно учитывать с помощью знаков. Выберем положительное направление оси: скорости в эту сторону записываем со знаком «плюс», а в противоположную — со знаком «минус». Тогда алгебраическая сумма сразу даёт проекцию результирующей скорости: при одинаковых направлениях модули складываются, при противоположных — вычитаются. Если итог получился отрицательным, это означает, что тело движется против выбранного положительного направления.
| Случай движения | Связь скоростей | Как находить модуль результирующей скорости |
|---|---|---|
| Движение вдоль одной прямой в одном направлении | v = v₁ + v₂, если оба вектора направлены одинаково | Сложить модули: |v| = v₁ + v₂ |
| Движение вдоль одной прямой в противоположных направлениях | v = v₁ + v₂ с учётом знаков проекций | Вычесть меньший модуль из большего: |v| = |v₁ − v₂| |
| Движение под углом друг к другу | v = v₁ + v₂ как векторы | Использовать геометрию треугольника; для прямого угла |v| = √(v₁² + v₂²) |
| Движение тела относительно движущейся системы отсчёта | v(A/1) = v(A/2) + v(2/1) | Сложить вектор скорости тела относительно системы и вектор скорости системы относительно выбранной системы отсчёта |
Сначала сопоставьте задачу с подходящей строкой и проверьте направления скоростей. Для движения по прямой удобно задать ось и записать проекции со знаками, а для движения под углом — построить векторный треугольник. В последней строке особенно внимательно следите за тем, относительно каких систем заданы скорости.
Пусть пешеход идёт по движущемуся относительно земли тротуару в том же направлении. Его скорость относительно тротуара равна v₁, а скорость тротуара относительно земли — v₂; требуется найти скорость пешехода относительно земли. Числовые значения в условии не заданы, поэтому решение запишем через обозначения.
Ответ: скорость пешехода относительно земли равна v₁ + v₂ и направлена вдоль движения.
Два автомобиля движутся по одной прямой навстречу друг другу со скоростями v₁ и v₂ относительно дороги. Найдём скорость первого автомобиля относительно второго. Чтобы увидеть относительное движение напрямую, мысленно перейдём в систему отсчёта второго автомобиля.
Ответ: скорость первого автомобиля относительно второго имеет модуль v₁ + v₂ и направлена вдоль движения первого автомобиля.
Лодка движется относительно воды поперёк берега со скоростью v₁, а течение направлено вдоль берега со скоростью v₂. Нужно найти скорость лодки относительно берега и направление её движения. Так как направление лодки относительно воды и направление течения перпендикулярны, одного сложения модулей здесь недостаточно.
Ответ: модуль скорости лодки относительно берега равен √(v₁² + v₂²); она движется по диагонали в сторону течения, под углом α, для которого tg α = v₂/v₁.
Первая ошибка — складывать или вычитать только модули, не проверяя направления. Так поступают, когда переносят правило для движения вдоль прямой на случай движения под углом. Для проверки нарисуйте векторы: если они не лежат на одной прямой, сначала сложите их геометрически, а уже затем найдите модуль суммы.
Вторая ошибка — перепутать, относительно каких систем отсчёта заданы скорости. В формуле сложения у каждой скорости должны быть понятны и движущееся тело, и система наблюдения; ошибка в одном обозначении меняет смысл равенства. Перед вычислениями подпишите возле каждой величины обе системы и убедитесь, что они образуют нужную цепочку перехода.
Третья ошибка — считать скорость абсолютной характеристикой тела. Её допускают, если забывают, что координаты меняются относительно выбранного тела отсчёта. Спросите себя, относительно чего движется тело: если ответ не указан, скорость описана неполно; сравните, например, движение пассажира относительно вагона и земли.
Четвёртая ошибка — поставить неверный знак при движении по прямой. Часто знаки выбирают уже после вычисления или меняют положительное направление в середине решения. Сначала задайте ось и обозначьте её направление, затем запишите проекции скоростей со знаками; отрицательный итог трактуйте как движение против выбранного направления.
Для изучения сложения скоростей нужны понятия системы отсчёта, перемещения, вектора и скорости: именно через перемещения за одинаковое время выводится основное правило. Оно применяется в задачах на относительное движение, например при движении по течению или навстречу друг другу. Переход между системами отсчёта также связан с принципом относительности классической механики: описание движения зависит от наблюдателя, а правило сложения помогает сопоставлять эти описания.
Почему скорость одного и того же тела может быть разной для разных наблюдателей?
Наблюдатели могут связывать систему отсчёта с разными телами, которые движутся друг относительно друга. Например, пассажир неподвижен относительно автобуса, но движется относительно дороги.
Как понять, какую скорость нужно прибавлять к скорости тела?
Сначала выясните, относительно какой движущейся системы задана скорость тела и относительно какой системы нужна искомая скорость. При переходе к другой системе прибавляют скорость той системы относительно конечной системы отсчёта.
Когда скорости складываются, а когда вычитаются?
Скорости всегда складывают как векторы. На одной прямой при совпадающих направлениях их модули складываются, а при противоположных направлениях модуль результирующей скорости равен разности модулей.
Как найти скорость лодки относительно берега, если есть течение?
Сложите вектор скорости лодки относительно воды и вектор скорости воды относительно берега. Если лодка направлена поперёк берега, а течение идёт вдоль него, векторы перпендикулярны: модуль результирующей находят по теореме Пифагора, направление — по отношению их модулей.
Можно ли складывать модули скоростей, если тела движутся под углом?
Нет, при движении под углом нужно складывать векторы, учитывая их направления. Модуль суммы можно найти по геометрии треугольника; простое сложение модулей подходит только для параллельных векторов, направленных одинаково.
§ 4. Сложение скоростей
