§ 5. Скорость при неравномерном движении

Определения и обозначения

Неравномерное движение — движение, при котором за равные промежутки времени тело проходит разные пути или изменяет направление движения. Иначе говоря, скорость такого тела не остаётся одной и той же величиной. Это понятие помогает понять, почему для описания движения нужны разные значения скорости.

Средняя скорость — отношение всего пройденного пути ко всему времени движения: vср = sобщ/tобщ. Её обозначают vср, а единицами служат метр в секунду (м/с) и километр в час (км/ч). Средняя скорость показывает, сколько пути в среднем приходится на единицу времени за выбранный промежуток.

Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории. Её модуль можно оценить по спидометру: прибор показывает, насколько быстро движется автомобиль сейчас. Это понятие нужно, когда важно узнать скорость не за весь путь, а в конкретный момент.

Вектор скорости — величина, направленная по касательной к траектории в сторону движения. Модуль скорости показывает быстроту, а направление вектора — куда движется тело. Различие необходимо, например, при движении по кривой: быстрота может не меняться, хотя направление скорости меняется.

Как это устроено

При неравномерном движении за равные промежутки времени тело проходит неодинаковые расстояния, а на криволинейном участке может менять направление. Поэтому указать одно число и считать его скоростью во все моменты недостаточно: такое описание скрыло бы изменения движения. Для общей характеристики используют среднюю скорость, а для отдельного момента — мгновенную. Вместе эти величины позволяют описать и итог движения, и его ход.

Чтобы найти среднюю скорость, складывают весь пройденный путь и делят его на всё время движения. Нельзя просто усреднить скорости участков: при разных временах движения каждая из них должна влиять на результат по-разному. Например, при равных расстояниях участок с меньшей скоростью занимает больше времени, поэтому медленная часть сильнее снижает среднюю скорость. Надёжный способ — сначала найти времена участков, затем сложить путь и время.

Мгновенную скорость можно оценить на очень коротком промежутке около интересующего момента: разделить малое изменение пути на затраченное время. Чем меньше этот промежуток, тем меньше результат усредняет движение по времени и тем точнее он характеризует выбранный момент. В пределе такого уменьшения получают мгновенную скорость; математически это производная пути по времени, если путь задан подходящей функцией. Так понятие скорости за интервал связывается со скоростью в точке.

На графике пути от времени наклон показывает, насколько быстро растёт путь. Наклон секущей, соединяющей точки начала и конца интервала, даёт среднюю скорость за этот интервал; чем секущая круче, тем она больше. Если рассматривать всё меньший участок около выбранной точки, секущая приближается к касательной. Поэтому наклон касательной в точке соответствует мгновенной скорости.

На графике координаты наклон тоже связан со скоростью, но координата может уменьшаться, если тело движется в обратную сторону вдоль оси. Вектор мгновенной скорости направлен туда, куда тело перемещается в данный момент, и при движении по кривой совпадает с касательной к траектории. Радиус указывает к центру кривизны, а хорда соединяет две точки траектории — ни один из них обычно не показывает текущее направление движения. Для понимания скорости важно различать её модуль и направление.

Средняя и мгновенная скорость при неравномерном движении

Сначала реши, за какой промежуток требуется скорость: за всё движение, за участок или в момент времени. Затем выбери нужную формулу и проверь, что путь и время выражены согласованными единицами. По графику определи наклон секущей или касательной в соответствии с вопросом задачи.

Разбор задач

Автомобиль прошёл первую половину пути со скоростью 60 км/ч, а вторую — со скоростью 40 км/ч. Найти среднюю скорость на всём пути.

1. Обозначим весь путь через L. Каждая половина равна L/2, поэтому для нахождения средней скорости нужны времена обеих частей.
2. На первой половине время t₁ = (L/2)/60 = L/120 ч, если L задан в километрах. На второй половине t₂ = (L/2)/40 = L/80 ч.
3. Сложим времена: tобщ = L/120 + L/80 = L/48 ч. Тогда vср = L/(L/48) = 48 км/ч.

Ответ: 48 км/ч. Средняя скорость меньше среднего арифметического 50 км/ч, потому что автомобиль дольше ехал на более медленной второй половине. Здесь равны пути, но не времена.

По закону движения s(t) = 2t² определить среднюю скорость за промежуток от 1 до 3 с и мгновенную скорость в момент t = 2 с.

1. Найдём значения пути на концах интервала: s(1) = 2 м, s(3) = 18 м. За эти 2 с путь изменился на 16 м.
2. Средняя скорость равна приращению пути, делённому на длительность интервала: vср = (18 − 2)/(3 − 1) = 8 м/с.
3. Для мгновенной скорости найдём скорость на очень малом интервале около t = 2 с. Для функции s = 2t² её производная v = 4t, поэтому при t = 2 с получаем v = 8 м/с.

Ответ: средняя скорость за интервал равна 8 м/с, мгновенная скорость при t = 2 с — 8 м/с. Совпадение чисел здесь не означает, что средняя и мгновенная скорости всегда равны: они относятся к разным промежуткам времени.

Велосипедист движется по дуге: за 10 с проходит 50 м, затем возвращается к исходной точке за 5 с. Найти среднюю путевую скорость, среднюю скорость перемещения и определить направление мгновенной скорости в выбранной точке.

1. Общий путь равен 50 + 50 = 100 м, а общее время — 10 + 5 = 15 с. Средняя путевая скорость: 100/15 ≈ 6,7 м/с.
2. Перемещение за всю поездку равно нулю: велосипедист вернулся в исходную точку. Поэтому средняя скорость перемещения, то есть перемещение, делённое на время, равна 0/15 = 0 м/с.
3. В выбранной точке мгновенную скорость направим по касательной к дуге, в сторону текущего движения велосипедиста. При возвращении направление будет противоположным движению по дуге в начале.

Ответ: средняя путевая скорость ≈ 6,7 м/с, средняя скорость перемещения — 0 м/с. Нулевая средняя скорость перемещения не означает, что велосипедист всё время стоял: его путь ненулевой. Для вектора мгновенной скорости нужно знать, в какую сторону он движется в выбранной точке.

Типичные ошибки

Подменять мгновенную скорость отношением всего пути ко всему времени. Так находят среднюю путевую скорость, потому что расчёт охватывает весь интервал. Ошибка возникает, когда не замечают слов «в данный момент». Проверь себя: если известны путь за всё время и всё время движения, результат является средним.

Усреднять скорости на участках арифметически без проверки условий. Такой способ не учитывает, сколько времени тело двигалось с каждой скоростью. Его часто выбирают из-за привычки складывать числа и делить на их количество. Проверка: найди времена участков и вычисли общий путь, делённый на общее время.

Путать пройденный путь с перемещением. Путь учитывает всю траекторию, а перемещение показывает изменение положения от начала до конца. При возврате к исходной точке перемещение равно нулю, хотя тело прошло некоторое расстояние. Проверяй, спрашивают ли в задаче среднюю путевую скорость или скорость перемещения.

Направлять скорость вдоль радиуса или хорды. Радиус указывает к центру кривизны, а хорда соединяет две точки траектории, поэтому они не задают текущее направление движения. Ошибка возникает, когда направление движения представляют как направление «к центру» или «между точками». Проведи касательную в выбранной точке и укажи сторону, в которую движется тело.

Связь с другими темами

Для этой темы пригодятся понятия пути, перемещения и времени, а также формула равномерного движения и умение переводить единицы. Чтение графиков координаты или пути от времени помогает находить скорость на участках и в отдельные моменты. Эти знания связывают численные расчёты с изображением движения.

Дальше понятие скорости понадобится при изучении ускорения и равноускоренного движения: ускорение описывает, как скорость изменяется со временем. Скорость также используют при анализе графиков и практических задач о транспорте и спортивных результатах. Показания приборов и результаты измерений удобно сравнивать, если правильно выбраны промежуток времени и единицы.

Что запомнить

• При неравномерном движении скорость изменяется с течением времени или по направлению.
• Средняя скорость равна всему пройденному пути, делённому на всё время движения.
• Мгновенная скорость характеризует движение в конкретный момент.
• Среднюю скорость нельзя в общем случае находить как среднее арифметическое отдельных скоростей.
• Модуль вектора скорости показывает быстроту движения, а направление — направление движения тела.
• На графике пути от времени средняя скорость связана с наклоном секущей, а мгновенная — с наклоном касательной.
• Единицы скорости нужно приводить к одной системе перед вычислениями.