"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Скорость показывает, как быстро и в каком направлении движется тело, но её значение зависит от выбранной системы отсчёта. Пассажир может быть неподвижен относительно поезда и одновременно двигаться относительно земли. Закон сложения скоростей связывает скорость тела относительно одной системы со скоростью относительно другой и скоростью движения самих систем. Поскольку скорость — вектор, складывать нужно не только её числовые значения, но и направления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система отсчёта — это тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы. С её помощью описывают положение и движение тел. Скорость всегда указывают относительно выбранной системы, например относительно земли, дороги или поезда.
Скорость тела относительно системы отсчёта — это перемещение тела за единицу времени, измеренное в данной системе. Скорость тела A относительно системы K обозначают vₐₖ. Такое обозначение сразу сообщает, кто движется и относительно чего измеряется движение.
Относительная скорость — скорость одного тела относительно другого тела или связанной с ним системы. Она зависит от движения обоих тел: если оба автомобиля едут в одном направлении, их относительная скорость меньше, чем при движении навстречу. Это понятие позволяет описывать сближение, удаление и движение пассажира в поезде.
Закон сложения скоростей — правило, по которому скорость тела относительно одной системы находят через его скорость относительно другой системы и скорость движения этих систем. Он записывается как vₐₖ = vₐᵦ + vᵦₖ. Закон нужен, чтобы переходить от описания движения в одной системе отсчёта к описанию в другой.
Одно и то же тело может иметь разные скорости относительно разных систем отсчёта, потому что наблюдатели отсчитывают его перемещение от разных точек. Пассажир, сидящий в вагоне, не меняет положения относительно вагона, но перемещается вместе с ним относительно земли. Значит, скорость зависит не только от тела, но и от выбранного наблюдателя.
Рассмотрим тело A и подвижную систему B, которая движется относительно системы K. За один и тот же промежуток времени тело A получает перемещение относительно B, а сама система B — перемещение относительно K. Перемещение A относительно K складывается из этих двух перемещений, потому что сначала учитывается движение внутри B, а затем перенос всей системы B.
Если разделить равенство перемещений на один и тот же промежуток времени, получим сложение скоростей. В векторной форме закон имеет вид vₐₖ = vₐᵦ + vᵦₖ. Первый индекс показывает движущееся тело, а второй — систему, относительно которой измерена скорость: например, vₐᵦ — скорость A относительно B.
При движении вдоль одной прямой удобно выбрать положительное направление оси. Скорости в этом направлении записывают со знаком «плюс», а в противоположном — со знаком «минус». Поэтому при одинаковых направлениях модули складываются, а при противоположных результирующий модуль равен модулю разности.
Если скорости направлены под углом, складывать их как обычные числа нельзя. Векторы откладывают из одной точки и достраивают треугольник или параллелограмм, а диагональ показывает результирующую скорость. Для угла α её модуль находят по формуле v = √(v₁² + v₂² + 2v₁v₂ cos α); при прямом угле действует теорема Пифагора.
| Направления скоростей | Связь между скоростями | Модуль результирующей скорости |
|---|---|---|
| Векторы направлены одинаково | v = v₁ + v₂ | v₁ + v₂ |
| Векторы направлены противоположно | v = v₁ + v₂ с учётом знаков проекций | |v₁ − v₂| |
| Векторы взаимно перпендикулярны | v = v₁ + v₂ как векторы | √(v₁² + v₂²) |
| Векторы образуют угол α | v = v₁ + v₂ как векторы | √(v₁² + v₂² + 2v₁v₂ cos α) |
Сначала определите направления векторов, а уже потом выбирайте формулу для модуля. При движении по одной прямой достаточно работать с проекциями и их знаками. При угле между скоростями удобнее построить схему и использовать геометрическое правило сложения.
Пешеход идёт по движущемуся тротуару в том же направлении. Его скорость относительно тротуара равна 1 м/с, а скорость тротуара относительно земли — 2 м/с. Найдём скорость пешехода относительно земли.
Ответ: скорость пешехода относительно земли равна 3 м/с и направлена вместе с тротуаром.
Автомобиль A движется вправо со скоростью 20 м/с, а автомобиль B — влево со скоростью 15 м/с. Нужно найти скорость A относительно B. Выберем ось вправо положительной.
Ответ: автомобили сближаются с относительной скоростью 35 м/с; скорость A относительно B направлена вправо.
Лодка движется относительно воды поперёк реки со скоростью 4 м/с, течение направлено вдоль берега со скоростью 3 м/с. Найдём скорость лодки относительно берега и направление её движения.
Ответ: скорость лодки относительно берега равна 5 м/с, направление отклонено примерно на 37° по течению от перпендикуляра к берегу.
Складывать модули скоростей без учёта направлений — ошибка, потому что закон относится к векторам. Её допускают, когда смотрят только на числа в условии. Проверьте себя схемой: если векторы не сонаправлены, сначала определите их проекции или угол.
Путать, относительно какой системы задана скорость, опасно: можно сложить величины, относящиеся к несогласованным системам. Такая ошибка возникает из-за невнимательности к словам «относительно воды» или «относительно берега». Подпишите индексы каждой скорости и убедитесь, что промежуточная система совпадает.
Нельзя считать скорость тела независимой от системы отсчёта. Пассажир покоится относительно вагона, но движется относительно земли, поэтому значения отличаются. Для проверки мысленно выберите другого наблюдателя и сравните измеренные перемещения.
При движении навстречу нельзя сразу вычитать скорости, не задав ось. Надёжный способ — записать проекции со знаками: тогда отрицательное направление учтётся автоматически. После сложения проекций найдите модуль и отдельно укажите направление.
Для понимания темы нужны система отсчёта, перемещение, скорость и вектор, а также умение складывать векторы и находить их проекции. Закон применяется к движению лодок и течения, самолётов и ветра, а также к расчёту скорости сближения тел. Далее эта идея приводит к изучению относительности механического движения и преобразований координат и скорости при переходе между системами.
Почему скорость одного и того же тела зависит от системы отсчёта?
Разные наблюдатели связывают движение тела с разными точками отсчёта. Поэтому за одно и то же время они могут измерить разные перемещения и получить разные скорости.
Как понять, какие скорости нужно сложить?
Сначала определите, относительно какой системы требуется найти скорость. Затем запишите скорость тела относительно промежуточной системы и скорость этой системы относительно нужной системы: именно эти векторы складываются.
Когда скорости складывают, а когда вычитают?
Векторное правило всегда остаётся сложением, но при противоположных направлениях проекции имеют разные знаки. Поэтому для модулей скоростей, направленных навстречу, получается разность их числовых значений.
Как найти скорость тела, если скорости направлены под углом?
Постройте векторы из одной точки и сложите их по правилу треугольника или параллелограмма. Модуль результирующей можно найти по теореме косинусов, а для перпендикулярных векторов — по теореме Пифагора.
Что означают индексы в формуле сложения скоростей?
Индексы показывают тело или систему, относительно которой измерена скорость. В записи vₐₖ скорость тела A измерена относительно системы K, а в формуле vₐₖ = vₐᵦ + vᵦₖ система B является промежуточной.
1. Сложение скоростей
