"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Координаты и скорость тела зависят от того, относительно какого тела и системы координат описывают его движение. Чтобы сравнивать описание одного движения наблюдателями в разных системах, используют преобразования Галилея. При классическом переходе между системами, движущимися друг относительно друга равномерно, время считают общим, координаты связывают формулой x′ = x − ut, а скорости складывают с учётом направления. Эти правила помогают находить движение пассажира относительно Земли и решать другие задачи о движении.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система отсчёта — это тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы. Тело отсчёта выбирают, чтобы указывать, относительно чего описывают движение, например Землю или поезд. Координаты и скорость зависят от этого выбора, поэтому при записи ответа нужно называть систему отсчёта.
Подвижная система отсчёта — система, которая движется относительно другой системы. Для простого перехода обозначим неподвижную систему буквой K, а движущуюся — K′; их оси направим одинаково и расположим параллельно. Рассмотрим движение K′ вдоль оси x, чтобы связь координат можно было записать одной формулой.
Преобразования Галилея — соотношения, которые связывают координаты и время одного события в двух системах при классическом переходе. Они позволяют перевести описание движения из K в K′ или обратно, не меняя само событие. Эти формулы используют в классической механике, когда скорости намного меньше скорости света.
Относительная скорость — скорость одной системы отсчёта относительно другой. В этой теме u обозначает скорость K′ относительно K, а штрих у координаты или скорости указывает на измерение в K′. Знак u зависит от выбранного положительного направления оси, поэтому его определяют до подстановки чисел.
Сначала задают системы координат K и K′ и выбирают для них общее начало отсчёта времени. Удобно считать, что при t = 0 начала координат совпадают: так в начальный момент положение тела описывается одинаковой координатой в обеих системах. Оси располагают параллельно, иначе пришлось бы отдельно учитывать поворот координат. Далее рассматривают, как меняется положение начала K′ относительно K.
Пусть K′ движется вдоль оси x с постоянной скоростью u. За время t её начало смещается относительно K на расстояние ut, поэтому начало K′ имеет в системе K координату ut. Координата тела в K′ измеряется от этого движущегося начала: из координаты тела x в K нужно вычесть смещение ut. Получаем x′ = x − ut; если K′ движется в сторону положительного направления, её начало «догоняет» тело, и координата тела в K′ становится меньше.
Перенесём слагаемое ut в другую часть равенства x′ = x − ut и получим обратную формулу x = x′ + ut. Она переводит координату из K′ в K. Знак скорости определяется не названием системы, а выбранным направлением оси: если K′ движется против положительного направления, u отрицательна. Поэтому прежде чем пользоваться формулой, нужно выяснить, какая система движется относительно какой и куда направлена ось.
Связь скоростей можно получить из изменения координат во времени. Поскольку x = x′ + ut, скорость тела в K складывается из скорости тела в K′ и скорости самой K′ относительно K: v = v′ + u. Это не означает, что модули скоростей всегда просто складываются: если тело движется назад относительно системы, его скорость v′ берут со знаком минус. Тогда сложение чисел со знаками автоматически учитывает направления движения.
В классической механике время для обеих систем считают одинаковым: t′ = t. Если K′ движется относительно K равномерно, скорость u постоянна, поэтому при переходе между системами к координате добавляется или вычитается величина ut, а ускорение тела в системах совпадает. Преобразования Галилея применяют, когда скорости малы по сравнению со скоростью света. При скоростях, сравнимых со скоростью света, классические формулы уже не дают точного описания.
| Величина | В системе K | В системе K′ |
|---|---|---|
| Положение начал координат при t = 0 | Начала совпадают | Начала совпадают |
| Координата тела при движении K′ со скоростью u вдоль оси x | x | x′ = x − ut |
| Время одного события | t | t′ = t |
| Связь скоростей тела | v = v′ + u | v′ = v − u |
| Связь ускорений при равномерном движении K′ | a | a′ = a |
Читайте каждую строку как описание одной и той же величины для двух наблюдателей. Сначала определите, какая система движется и как направлена ось, затем подставляйте знаковое значение u. Для перехода в обратную систему используйте обратную формулу, а не меняйте знак наугад.
Поезд движется относительно Земли со скоростью 20 м/с. Пассажир идёт по вагону вперёд со скоростью 1,5 м/с относительно поезда. Требуется найти скорость пассажира относительно Земли. Выберем положительное направление по ходу поезда: тогда обе скорости направлены в одну сторону.
Ответ: скорость пассажира относительно Земли равна 21,5 м/с. Здесь скорости сложились, потому что направлены одинаково. Если бы пассажир шёл назад, знак его скорости относительно поезда изменился бы.
Поезд движется относительно Земли со скоростью 18 м/с, а пассажир идёт назад со скоростью 1,2 м/с относительно поезда. Нужно определить скорость пассажира относительно Земли. Направление движения поезда примем за положительное, поэтому движение пассажира назад будет отрицательным.
Ответ: скорость пассажира относительно Земли равна 16,8 м/с по ходу поезда. Получилось меньше скорости поезда, потому что пассажир движется ему навстречу. Проверка здравого смысла: поезд быстрее пассажира в вагоне, поэтому пассажир всё ещё перемещается вперёд относительно Земли.
Начала координат K и K′ совпали при t = 0. Система K′ движется вдоль оси x со скоростью 4 м/с, а через 3 с координата тела в K равна 17 м. Найдём координату тела в K′ и проверим результат обратным преобразованием. Все скорости направлены вдоль выбранной положительной оси, поэтому u = 4 м/с.
Ответ: координата тела в системе K′ равна 5 м. Начало K′ за это время прошло 12 м относительно K, поэтому координата тела, измеренная от него, уменьшилась на 12 м. Обратная проверка подтверждает правильность вычислений и выбранных знаков.
Первая ошибка — перепутать, какая система движется относительно какой, и подставить в x′ = x − ut скорость не той системы. Её допускают, потому что слова «подвижная» и «неподвижная» не всегда повторяют в условии. Перед расчётом запишите отдельно: u — скорость K′ относительно K; при движении K′ в положительном направлении координата x′ равна x − ut.
Вторая ошибка — складывать модули скоростей, не учитывая направления. Так происходит, когда слово «скорость» автоматически воспринимают как положительное число, хотя в задаче важна проекция на ось. Проверка простая: нарисуйте стрелки или задайте ось и присвойте скорость против её направлениям знак минус, а затем вычислите v = v′ + u.
Третья ошибка — считать, что координата и скорость тела не меняются при смене системы отсчёта. Координата зависит от положения начала координат, а скорость — ещё и от движения самой системы. Чтобы не смешать описания, подписывайте величины индексами K и K′ и проверяйте, относительно чего измерена каждая из них.
Четвёртая ошибка — применять преобразования Галилея при скоростях, сравнимых со скоростью света. Формулы выглядят простыми и привычными, поэтому их иногда используют без проверки условий применимости. Сравните скорости задачи со скоростью света: если они близки к ней, классическое сложение скоростей и преобразования Галилея нужно заменить релятивистским описанием.
Для перехода между системами отсчёта нужно уметь задавать положение тела координатой, выбирать начало и положительное направление оси, находить перемещение и скорость. Эти знания нужны, чтобы понимать знак величин и отличать координату от пройденного пути. Позже преобразования Галилея и относительность движения помогут изучать законы Ньютона и инерциальные системы отсчёта. Сравнение классических формул с релятивистскими показывает границы применимости классической механики.
Почему координата тела меняется при переходе в другую систему отсчёта?
Координата показывает положение тела относительно выбранного начала координат. Если начала систем находятся в разных местах, одно и то же тело получает разные координаты, хотя его положение в пространстве не меняется.
Как понять, какой знак поставить перед скоростью подвижной системы?
Сначала задайте положительное направление оси и укажите, куда движется K′ относительно K. Если K′ движется вдоль положительного направления, u положительна и x′ = x − ut; если противоположно — скорость u берут со знаком минус.
Почему время в преобразованиях Галилея считается одинаковым?
В классической механике предполагают, что часы в обеих системах отсчёта идут одинаково и не зависят от движения систем. Поэтому для одного события t′ = t. Такое предположение хорошо работает при скоростях, намного меньших скорости света.
Как сложить скорости, если тело движется навстречу системе отсчёта?
Выберите положительное направление и запишите каждую скорость со своим знаком. Затем используйте v = v′ + u: скорость, направленная против выбранного направления, будет отрицательной.
При каких скоростях преобразования Галилея перестают быть применимыми?
Они перестают быть достаточно точными, когда скорости сравнимы со скоростью света. В таких условиях нужно учитывать релятивистские эффекты и применять преобразования Лоренца.
2. Переход в другую систему отсчёта
