2. Переход в другую систему отсчёта

Определения и обозначения

Система отсчёта — система координат, связанная с телом отсчёта, и часы, относительно которых описывают движение. Она задаёт, откуда и когда наблюдатель измеряет положение тела. Без неё координата или скорость не имеют однозначного смысла: нужно указать, относительно чего их измерили.

Инерциальная система отсчёта — система, в которой тело при отсутствии действия других тел покоится или движется равномерно и прямолинейно. Это идеализированный способ определить системы, в которых выполняется первый закон Ньютона. Такие системы нужны, чтобы корректно сравнивать движение и применять законы механики.

Преобразование Галилея — правила пересчёта координат и времени при переходе между инерциальными системами отсчёта, движущимися друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Оно показывает, как меняются численные значения положения при смене наблюдателя. С его помощью можно описать одно движение в удобной системе.

Закон сложения скоростей связывает скорость тела в двух системах отсчёта: скорость относительно неподвижной системы равна сумме скорости относительно подвижной системы и скорости этой системы относительно неподвижной. Скорость здесь понимается как вектор, то есть величина с направлением. Закон нужен, чтобы находить движение тела относительно земли, берега или другого наблюдателя.

Как это устроено

Переходить между системами приходится, потому что разные наблюдатели могут по-разному описывать одно и то же движение. Например, пассажир неподвижен относительно вагона, но движется относительно земли. Координата зависит от начала координат, а скорость — ещё и от движения выбранной системы. Поэтому в задаче сначала выясняют, относительно чего заданы величины, а затем выбирают удобного наблюдателя.

Чтобы связать координаты, задают оси так, чтобы движение K′ происходило вдоль оси x системы K. Пусть начала координат совпали в момент t = 0, а затем K′ движется в положительном направлении со скоростью u. За время t его начало сместится на ut, поэтому координата тела относительно K′ равна x′ = x − ut. Вычитание нужно потому, что для положения относительно движущегося начала из координаты тела вычитают смещение этого начала.

В преобразованиях Галилея принимают t′ = t: время события одинаково для обеих систем. Это связано с классическим представлением о времени как общем для всех наблюдателей, чьи системы движутся равномерно и прямолинейно друг относительно друга. Тогда часы не требуют дополнительного пересчёта, а изменяется только координата из-за перемещения начала отсчёта. Такое описание применимо в классической механике при скоростях, значительно меньших скорости света.

Формулу сложения скоростей можно получить из x = x′ + ut. Если положение меняется со временем, скорость — это изменение координаты за время; дифференцируя равенство при постоянном u, получаем v = v′ + u. В одномерной задаче направления учитываются знаками: одинаковые направления дают сумму модулей, противоположные — разность. В двух и трёх измерениях складывают векторы, поэтому результат может быть направлен иначе, чем каждая из скоростей.

Ускорение — изменение скорости за время. Поскольку переход между системами добавляет к скорости постоянную величину u, эта добавка не меняется и не влияет на ускорение: a′ = a. Значит, если в одной инерциальной системе тело ускоряется из-за действия сил, в другой его ускорение будет таким же. Поэтому законы Ньютона сохраняют свой вид при переходе между системами, движущимися равномерно и прямолинейно друг относительно друга.

Переход между системами отсчёта в преобразованиях Галилея

Прежде чем подставлять числа, проверьте, совпадали ли начала координат при t = 0 и совпадает ли выбранная ось с направлением движения систем. Затем соотнесите каждую величину с нужной системой и учитывайте знак скорости. Если движение не одномерное, пользуйтесь векторной формой сложения.

Разбор задач

Задача 1. Поезд движется относительно Земли со скоростью 20 м/с. Пассажир идёт по вагону вперёд со скоростью 1 м/с относительно поезда. Найти скорость пассажира относительно Земли. Считаем, что поезд и пассажир движутся в одном направлении.

1. Обозначим систему Земли как K, а систему поезда как K′. Скорость поезда относительно Земли равна u = 20 м/с. Скорость пассажира относительно поезда равна v′ = 1 м/с.
2. Используем закон сложения скоростей: v = v′ + u. Поскольку пассажир идёт вперёд, его скорость и скорость поезда направлены одинаково. Поэтому складываем их модули.
3. Подставляем значения: v = 1 м/с + 20 м/с = 21 м/с. Ответ: скорость пассажира относительно Земли равна 21 м/с вперёд.

Задача 2. Лодка движется относительно воды со скоростью 4 м/с поперёк течения, скорость течения равна 3 м/с. Найти скорость лодки относительно берега и её направление. Скорости лодки относительно воды и воды относительно берега взаимно перпендикулярны.

1. Выберем ось вдоль течения, а вторую — поперёк него. Компоненты скорости лодки относительно берега равны 3 м/с вдоль течения и 4 м/с поперёк. Складываем именно векторы, а не их модули как числа.
2. Модуль результирующей скорости найдём по теореме Пифагора: v = √(3² + 4²) м/с = 5 м/с. Перпендикулярность компонентов позволяет применить эту формулу. Ответ по модулю: 5 м/с.
3. Угол θ между направлением скорости и течением можно найти из tg θ = 4/3. Значит, θ ≈ 53° в сторону поперечного движения. Лодка движется относительно берега по диагонали вниз по течению, а не строго поперёк него.

Задача 3. Система K′ движется вдоль оси x системы K со скоростью u, а координата тела в K задана зависимостью x(t). Требуется записать его координату, скорость и ускорение в K′. Предположим, что начала координат совпали при t = 0, а u постоянно.

1. По преобразованию Галилея координата в движущейся системе равна x′(t) = x(t) − ut. Время в обеих системах одинаково, поэтому зависимость можно записывать через одну переменную t. Вычитание отражает смещение начала K′ в положительном направлении.
2. Дифференцируем координату по времени: v′(t) = dx′/dt = dx/dt − u. Так как v(t) = dx/dt, получаем v′(t) = v(t) − u. Это согласуется с законом v = v′ + u.
3. Дифференцируем скорость ещё раз: a′(t) = dv′/dt = dv/dt, потому что постоянная u при дифференцировании исчезает. Следовательно, a′(t) = a(t). Ответ: x′ = x − ut, v′ = v − u, a′ = a.

Типичные ошибки

• Складывать модули скоростей без учёта направлений — значит считать скорости одинаково направленными даже тогда, когда это не так. Так ошибаются, когда запоминают формулу без понимания знаков; при встречном движении модули нужно вычитать. Проверьте себя рисунком со стрелками или знаками проекций на выбранной оси.
• Путать, относительно какой системы дана скорость, легко, если в записи не указать наблюдателя. В формулу входят скорость тела относительно подвижной системы и скорость этой системы относительно неподвижной. Подпишите рядом с каждой величиной систему отсчёта и проверьте, что складываете именно эти скорости.
• Неверный знак в формуле координаты часто появляется из-за механического запоминания x′ = x ± ut. Если K′ движется в положительном направлении оси x, его начало смещается на ut, поэтому x′ = x − ut. Подставьте тело, неподвижное в K′: его координата в K должна расти как ut, а x′ оставаться постоянной.
• Считать, что ускорение меняется при переходе между равномерно движущимися системами, — значит не учитывать постоянство u. Ошибку допускают, перенося правило о зависимости скорости на ускорение; но постоянная добавка к скорости при дифференцировании исчезает. Проверьте формулу a′ = d(v − u)/dt = a при постоянной u.

Связь с другими темами

Для работы с переходом между системами нужны координаты, скорость и ускорение, а также умение складывать векторы. Эти понятия уже позволяют описать движение одного тела с точки зрения разных наблюдателей. Преобразования Галилея помогают решать задачи о движении тел и применять законы Ньютона в выбранной инерциальной системе.

Далее эта тема становится основой для обсуждения границ классической механики. При скоростях, близких к скорости света, классическое представление об одинаковом времени и преобразования Галилея перестают быть достаточными. Тогда рассматривают специальную теорию относительности.

Что запомнить

• Координаты и скорость тела зависят от системы отсчёта.
• Преобразования Галилея применяются к инерциальным системам, движущимся равномерно и прямолинейно друг относительно друга.
• В классической механике время при переходе между такими системами считается одинаковым.
• При движении K′ со скоростью u вдоль оси x координаты связаны формулой x′ = x − ut.
• Скорость тела относительно K равна сумме скорости относительно K′ и скорости K′ относительно K.
• Ускорение тела в двух таких системах одинаково.