2. Средняя скорость

Определения и обозначения

Средняя путевая скорость — отношение длины пройденного пути к промежутку времени, за который этот путь пройден: vср = s / Δt. Здесь s — путь, а Δt — время движения. Эта величина показывает, сколько пути в среднем тело проходило за единицу времени.

Средняя векторная скорость — отношение перемещения тела к промежутку времени: v⃗ср = Δr⃗ / Δt. Перемещение — направленный отрезок от начального положения тела к конечному, поэтому средняя векторная скорость также имеет направление. Она нужна, когда важно знать не длину маршрута, а изменение положения тела.

Промежуток времени — разность между конечным и начальным моментами движения: Δt = t₂ − t₁. Он показывает, сколько времени прошло между двумя выбранными событиями. Его используют в формулах средней скорости, чтобы соотнести путь или перемещение с длительностью движения.

Путь — длина траектории движения тела за рассматриваемый промежуток времени. Траектория — линия, по которой движется тело, поэтому путь учитывает все её повороты и участки. Он нужен для расчёта средней путевой скорости и не показывает, где тело оказалось относительно начальной точки.

Как это устроено

Средняя путевая скорость определяется через весь путь и всё время, потому что описывает движение целиком. Если складывать скорости на отдельных участках и делить сумму на число участков, мы не учитываем, сколько времени тело двигалось с каждой скоростью. Например, короткий быстрый участок и долгий медленный участок получили бы одинаковый вес, хотя вклад в общее движение у них разный. Деление общего пути на общее время автоматически учитывает длительность каждого участка.

Чтобы найти среднюю векторную скорость, нужно разделить перемещение на промежуток времени. Перемещение соединяет начальное и конечное положения тела, поэтому маршрут между ними может быть длиннее, чем само перемещение. Из-за этого средняя векторная скорость может отличаться от средней путевой: первая зависит от перемещения, вторая — от всего пути. Их модули совпадут, если тело двигалось по прямой в одном направлении.

При движении с разными скоростями сначала находят общий путь и общее время. Для этого складывают пути участков, а времена можно вычислить по формуле t = s / v, если скорость на каждом участке постоянна. Затем общий путь делят на общее время. Такой порядок верен, потому что средняя скорость должна описывать весь маршрут, а не отдельные его части.

Если тело вернулось в исходную точку, его начальное и конечное положения совпадают, поэтому перемещение равно нулю. Деление нулевого перемещения на ненулевое время даёт нулевую среднюю векторную скорость. При этом тело могло пройти значительный путь, например обогнуть площадку и вернуться назад. Поэтому средняя путевая скорость в такой ситуации остаётся положительной.

Среднюю скорость обычно выражают в метрах в секунду или километрах в час. Чтобы перейти от м/с к км/ч, умножают значение на 3,6: это следует из соотношений 1 км = 1000 м и 1 ч = 3600 с. Для перевода из км/ч в м/с делят на 3,6. Перед подстановкой в формулу полезно привести путь и время к согласованным единицам.

Сравнение средней путевой и средней векторной скорости

Сначала определи, что спрашивается в задаче: длина маршрута или изменение положения тела. Затем выбери соответствующий числитель — путь либо перемещение — и раздели его на время. Таблица помогает не перепутать две величины, особенно при движении по сложной траектории.

Разбор задач

Задача 1. Пешеход прошёл 1,2 км за 20 минут. Найдите его среднюю путевую скорость в м/с. Для ответа используем весь путь и всё время, переведя их сначала в метры и секунды. Это позволит получить скорость сразу в требуемых единицах.

1. Переведём путь: 1,2 км = 1200 м.
2. Переведём время: 20 мин = 20 · 60 = 1200 с.
3. Вычислим скорость: vср = s / Δt = 1200 м / 1200 с = 1 м/с.

Ответ: 1 м/с. Проверка единиц показывает, что метры разделены на секунды, как и требуется.

Задача 2. Велосипедист проехал 6 км со скоростью 12 км/ч, а затем ещё 6 км со скоростью 6 км/ч. Найдите среднюю путевую скорость. Складывать скорости и делить на два нельзя: на участках одинаковой длины велосипедист затратил разное время. Поэтому сначала найдём длительность каждого участка.

1. На первом участке t₁ = 6 / 12 = 0,5 ч, на втором t₂ = 6 / 6 = 1 ч.
2. Общий путь s = 6 + 6 = 12 км, общее время Δt = 0,5 + 1 = 1,5 ч.
3. Средняя путевая скорость vср = 12 / 1,5 = 8 км/ч.

Ответ: 8 км/ч. Арифметическое среднее скоростей равно 9 км/ч и не подходит, поскольку участки проходились за разное время.

Задача 3. Автомобиль проехал 30 км на восток, затем 40 км на север. Всё движение заняло 1 час. Найдите среднюю путевую скорость и модуль средней векторной скорости. Для первой величины учитываем обе части маршрута, а для второй определяем расстояние между начальной и конечной точками. Эти направления перпендикулярны, поэтому модуль перемещения можно найти по теореме Пифагора.

1. Общий путь: s = 30 + 40 = 70 км. Средняя путевая скорость равна 70 км / 1 ч = 70 км/ч.
2. Модуль перемещения: |Δr⃗| = √(30² + 40²) = √2500 = 50 км.
3. Модуль средней векторной скорости равен 50 км / 1 ч = 50 км/ч.

Ответ: средняя путевая скорость — 70 км/ч, модуль средней векторной скорости — 50 км/ч. Различие возникло потому, что путь проходит через поворот, а перемещение соединяет только начало и конец маршрута.

Типичные ошибки

Нельзя без проверки находить среднюю скорость как среднее арифметическое скоростей участков. Так поступают, потому что это похоже на обычное усреднение чисел, но участки могут иметь разную длительность. Надёжнее сложить весь путь и всё время, а затем разделить первое на второе. Проверь себя: если времена участков различны, их скорости обычно не имеют равного вклада в результат.

Подстановка перемещения вместо пути искажает среднюю путевую скорость, если траектория не прямая. Ошибка возникает из-за того, что обе величины измеряются в метрах. Проверь формулировку задачи: для путевой скорости нужен пройденный маршрут целиком, а для векторной — изменение положения от начала до конца.

Средняя путевая и средняя векторная скорости не всегда равны. Их смешивают, потому что в речи слово «скорость» часто употребляют без уточнения. Сравни путь и модуль перемещения: они совпадают при прямолинейном движении без разворотов, но в общем случае путь больше. Это сразу показывает, может ли совпасть модуль векторной скорости с путевой.

Нельзя делить километры на секунды и записывать результат в м/с. Число получится для единиц км/с, а не м/с, поэтому ответ будет несогласованным. Перед вычислениями переведи путь в метры или время в часы — выбор зависит от того, в каких единицах нужен результат. После расчёта проверь, что единицы в ответе соответствуют единицам исходных величин.

Связь с другими темами

Для работы со средней скоростью нужно знать путь, перемещение, время движения и скорость. Также важно уметь переводить единицы: например, минуты в секунды, а километры в метры. Эти знания позволяют выбрать верную формулу и не смешать разные физические величины.

Средняя скорость применяется в задачах о движении по нескольким участкам маршрута. С её помощью можно оценивать длительность поездки и сравнивать движения тел, даже если они двигались с разными скоростями. При этом для правильного сравнения нужно учитывать общий путь и общее время.

Понятие средней скорости подготавливает к изучению мгновенной скорости — скорости тела в конкретный момент. Средняя характеризует движение на выбранном промежутке, тогда как мгновенная описывает движение в отдельный момент. Различие между ними особенно полезно при анализе неравномерного движения.

Что запомнить

• Средняя путевая скорость равна всему пройденному пути, делённому на всё время движения.
• Средняя векторная скорость равна перемещению, делённому на промежуток времени.
• Путь не меньше модуля перемещения, поэтому средняя путевая скорость не меньше модуля средней векторной скорости.
• При возвращении в исходную точку перемещение равно нулю, но путь может быть ненулевым.
• При движении по участкам среднюю путевую скорость находят через общий путь и общее время.
• Основные единицы скорости — м/с и км/ч; 1 м/с = 3,6 км/ч.