3. Средняя скорость

Определения и обозначения

Средняя скорость — величина, равная отношению всего пути, пройденного телом, ко всему времени движения: v_ср = s_общ / t_общ. Она показывает, какой путь тело проходило бы за единицу времени при условном равномерном движении с таким же результатом. В формулу входят именно общий путь и общее время.

Путь — длина траектории движения тела, обычно обозначается буквой s. Если движение состоит из нескольких участков, пути на них складывают: s_общ = s₁ + s₂ + ... . Это нужно, чтобы в числителе формулы учесть всё расстояние, пройденное телом.

Время движения — продолжительность движения на выбранном промежутке, обозначается буквой t. Для средней скорости складывают времена всех участков, а также время остановок, если они входят в условие. Так получают t_общ, то есть полный промежуток, за который рассматривают движение.

Как это устроено

При неравномерном движении скорость тела меняется: на одном участке оно движется быстрее, на другом медленнее. Поэтому одно мгновенное значение скорости не описывает весь путь. Средняя скорость заменяет сложное движение одним условным числом, которое связывает общий результат движения со всем затраченным временем.

Среднюю скорость находят не усреднением отдельных значений скорости, а делением общего пути на общее время. Причина в том, что разные скорости могут действовать в течение неодинакового времени и на разных расстояниях. Например, короткий быстрый участок не должен иметь такое же влияние, как длительный медленный участок.

При движении по нескольким участкам общий путь получают сложением путей: s_общ = s₁ + s₂ + ... . Общее время находят так же: t_общ = t₁ + t₂ + ... . После этого используют одну формулу v_ср = s_общ / t_общ.

Если известны скорости и времена движения на отдельных участках, сначала вычисляют путь каждого участка по формуле s = vt. Так удаётся перейти от отдельных характеристик к общей длине маршрута. Затем найденные пути складывают, складывают времена и выполняют последнее деление.

Остановка не добавляет пройденного пути, но увеличивает общее время. Поэтому при включении остановки в расчёт средняя скорость за весь промежуток становится меньше, чем без остановки. Если же спрашивают скорость только во время движения между остановками, время стоянки не включают.

Величины для расчёта средней скорости

Таблица помогает определить, какую величину нужно найти и какие данные для этого использовать. Сначала находят общий путь и общее время, а затем вычисляют среднюю скорость. Все величины перед расчётом приводят к согласованным единицам.

Если путь дан в километрах, а время в часах, результат можно получить в км/ч. Для ответа в единицах СИ путь переводят в метры, время — в секунды. Проверка единиц помогает заметить ошибку ещё до вычисления.

Разбор задач

Задача 1. Один участок движения

Условие: автомобиль проехал 120 км за 2 ч. Найдите его среднюю скорость. Здесь весь указанный путь и всё указанное время уже являются общими.

1. Записываем формулу: v_ср = s_общ / t_общ.
2. Подставляем данные: v_ср = 120 км / 2 ч = 60 км/ч.
3. Проверяем: километры разделены на часы, поэтому единица ответа получилась км/ч.

Ответ: средняя скорость автомобиля равна 60 км/ч.

Задача 2. Два участка с разными скоростями

Условие: велосипедист ехал 30 мин со скоростью 12 км/ч, затем 30 мин со скоростью 18 км/ч. Найдите среднюю скорость за всё время. Времена одинаковы, но всё равно найдём пути отдельно.

1. Переводим 30 мин в часы: 30 мин = 0,5 ч. Первый путь равен s₁ = 12 · 0,5 = 6 км, второй — s₂ = 18 · 0,5 = 9 км.
2. Находим общий путь: s_общ = 6 + 9 = 15 км. Общее время: t_общ = 0,5 + 0,5 = 1 ч.
3. Вычисляем среднюю скорость: v_ср = 15 км / 1 ч = 15 км/ч. Это не результат сложения скоростей, а отношение общего пути ко всему времени.

Ответ: средняя скорость велосипедиста равна 15 км/ч.

Задача 3. Равные половины пути

Условие: пешеход прошёл первую половину пути со скоростью 4 км/ч, а вторую — со скоростью 6 км/ч. Пусть весь путь равен S, тогда каждый участок имеет длину S/2. Нужно найти времена участков, а не усреднять скорости напрямую.

1. Время первой половины: t₁ = (S/2) / 4 = S/8 ч. Время второй половины: t₂ = (S/2) / 6 = S/12 ч.
2. Общее время равно S/8 + S/12 = 5S/24 ч. Тогда v_ср = S / (5S/24) = 24/5 = 4,8 км/ч.

Ответ: средняя скорость пешехода равна 4,8 км/ч, а не 5 км/ч, которые получились бы при простом среднем арифметическом.

Типичные ошибки

Среднее арифметическое скоростей. Часто складывают скорости участков и делят на их количество, потому что это выглядит привычным способом усреднения. Но участки могут длиться разное время, поэтому такой результат обычно неверен. Проверьте себя через формулу v_ср = s_общ / t_общ.

Складывание скоростей. В формулу нельзя подставлять сумму скоростей: складывают пути и времена, а не скорости. Также ошибочно делить путь одного участка на общее время. Запишите отдельно s_общ и t_общ перед вычислением.

Несогласованные единицы. Например, деление метров на часы не даёт ответ в м/с, хотя запись может выглядеть допустимой. Сначала переведите километры в метры или часы в секунды. После решения сравните единицу результата с единицами исходных данных.

Пропущенная остановка. Её иногда не учитывают, потому что во время стоянки тело не проходит путь. Если требуется скорость за всё время поездки, остановка входит в t_общ и уменьшает среднюю скорость. Внимательно определите, какой промежуток указан в условии.

Связь с другими темами

Для расчёта средней скорости нужны формула скорости равномерного движения и умение находить путь по формуле s = vt. Эти знания позволяют вычислить путь каждого участка, если в условии даны его скорость и время. Затем отдельные результаты объединяют в общий путь.

Средняя скорость описывает неравномерное движение одним итоговым показателем. Она нужна при решении задач о поездках, маршрутах и движении, состоящем из нескольких этапов. Понятие также помогает сравнивать разные способы перемещения по общему результату.

Что запомнить

• Средняя скорость равна отношению всего пути ко всему времени.
• Формула средней скорости: v_ср = s_общ / t_общ.
• Пути и времена отдельных участков складывают.
• Остановку учитывают, если она входит в рассматриваемый промежуток времени.
• Средняя скорость обычно не равна среднему арифметическому скоростей на участках.
• Перед вычислением проверьте, что единицы пути и времени согласованы.