2. График зависимости координаты тела от времени

Определения и обозначения

Координата тела — положение тела на выбранной координатной оси, задаваемое числом и единицей длины. Например, x = 4 м означает, что тело расположено в точке с координатой 4 м. Координата нужна, чтобы точно указать положение тела относительно начала отсчёта. Она может быть отрицательной, если тело находится по другую сторону от начала оси.

Время — физическая величина, показывающая, когда тело находилось в определённом положении. Обычно время обозначают буквой t и измеряют в секундах. Для описания движения выбирают начало отсчёта времени, от которого считают прошедшие секунды. Благодаря этому можно сопоставлять положение тела в разные моменты.

Зависимость координаты от времени — правило, по которому каждому моменту времени ставится в соответствие координата тела. Её обозначают x(t): буква t показывает, что значение x может меняться со временем. Так можно описать движение формулой, таблицей или результатами наблюдений. Эта зависимость помогает выяснить, где находится тело в выбранный момент.

График зависимости координаты от времени — изображение зависимости x(t) на координатной плоскости, где по горизонтали откладывают время, а по вертикали координату. Каждая отмеченная точка связывает значение времени со значением координаты. График позволяет быстро сравнивать положение тела в разные моменты. По его форме также судят о покое, направлении движения и скорости.

Как это устроено

Время откладывают по горизонтальной оси, потому что оно задаёт последовательность событий: по графику удобно двигаться слева направо от ранних моментов к поздним. Координата зависит от выбранного момента, поэтому её значение показывают по вертикальной оси. Такое расположение соответствует обычному чтению графика зависимости одной величины от другой. Сначала выбирают время, а затем считывают, какое значение координаты ему соответствует.

Каждой паре значений (t; x) отвечает точка: её положение по горизонтали задаётся временем, а по вертикали — координатой. Чтобы узнать положение тела в момент t, находят этот момент на горизонтальной оси и проводят мысленную вертикаль до линии графика. Затем определяют значение по вертикальной шкале. Например, точка (3 с; 7 м) означает, что через 3 с тело имело координату 7 м.

Чтобы построить график по таблице, каждой строке придают вид пары (t; x), отмечают соответствующую точку и соединяют точки, учитывая характер движения. Если известна формула, выбирают несколько значений времени, вычисляют координату для каждого и наносят полученные пары на оси. По наблюдениям сначала записывают моменты измерений и найденные координаты, а затем строят график тем же способом. Масштаб на осях выбирают так, чтобы все точки помещались и значения можно было удобно считывать.

Горизонтальный участок означает, что при увеличении времени координата остаётся той же. Тело не меняет положения относительно оси, значит, оно покоится. Если линия поднимается слева направо, координата растёт, и тело движется в положительном направлении оси. Если линия опускается, координата уменьшается — движение идёт в отрицательном направлении.

На прямом участке скорость постоянна, потому что за равные промежутки времени координата изменяется на равные величины. Её находят как отношение изменения координаты к изменению времени: v = Δx/Δt = (x₂ − x₁)/(t₂ − t₁). Чем больше изменение координаты за то же время, тем круче линия и больше модуль скорости. Знак наклона показывает направление: при подъёме скорость положительна, при спуске — отрицательна.

Как читать график зависимости координаты тела от времени

Таблица связывает характер линии с изменением координаты и движением тела. Пользуйтесь ею, чтобы сначала описать, что происходит с координатой, а затем сделать вывод о движении. Скорость определяйте отдельно для прямого участка, сравнивая изменение координаты с промежутком времени.

Разбор задач

Координата по графику

По графику зависимости координаты от времени определить координату тела в моменты времени 2 с и 5 с. При чтении важно не перепутать координату с временем: сначала задан момент, а найти нужно значение по вертикальной оси. Числа зависят от самого графика, поэтому считывать их следует по его шкале. Способ подходит и для промежуточных значений, если они нанесены на график.

1. На горизонтальной оси найдите t = 2 с и проведите вверх вертикаль до линии графика.
2. От точки пересечения проведите горизонталь к вертикальной оси и считайте x₂.
3. Повторите действия для t = 5 с и считайте x₅.

Ответ: координаты тела в моменты 2 с и 5 с равны значениям, считанным по вертикальной шкале в точках пересечения. Если график проходит, например, через координаты 5 м и 9,5 м, ответ будет x(2 с) = 5 м и x(5 с) = 9,5 м. Эти числа нельзя определить без самого графика.

Перемещение и средняя скорость

Тело имело координату 3 м в момент 1 с и координату 11 м в момент 5 с. Нужно определить перемещение и среднюю скорость на этом интервале. Среднюю скорость находим по отношению перемещения ко времени, а не делим одну из координат на время. Направление оси учитывается знаком разности координат.

1. Запишите начальные и конечные данные: x₁ = 3 м, t₁ = 1 с, x₂ = 11 м, t₂ = 5 с.
2. Найдите перемещение: Δx = x₂ − x₁ = 11 м − 3 м = 8 м.
3. Вычислите промежуток времени: Δt = t₂ − t₁ = 5 с − 1 с = 4 с.
4. Найдите среднюю скорость: vср = Δx/Δt = 8 м/4 с = 2 м/с.

Ответ: перемещение равно 8 м, средняя скорость — 2 м/с в положительном направлении оси. Положительный знак получился потому, что конечная координата больше начальной. Если бы координата уменьшилась, перемещение и средняя скорость имели бы отрицательный знак.

Движение по ломаному графику

По ломаному графику x(t) нужно определить, когда тело покоилось, в каком направлении двигалось на каждом участке и найти скорость на каждом прямом участке. Ломаная состоит из отрезков, поэтому каждый из них рассматривают отдельно. На горизонтальном отрезке скорость равна нулю, а наклонные отрезки характеризуют движение. Для численного ответа нужны координаты концов и моменты времени, считываемые с графика.

1. Разделите линию на прямые участки и для каждого запишите начальные и конечные значения времени и координаты.
2. Найдите, как меняется координата: Δx = x₂ − x₁. Если Δx = 0, участок горизонтальный и тело покоится.
3. При Δx > 0 тело движется в положительном направлении, при Δx < 0 — в отрицательном.
4. Для каждого наклонного участка вычислите скорость: v = (x₂ − x₁)/(t₂ − t₁). Сохраните знак результата, чтобы указать направление.

Ответ: тело покоится на горизонтальных участках, движется в положительном направлении на возрастающих и в отрицательном — на убывающих. Численные значения скоростей равны отношениям изменения координаты к длительности соответствующих участков. Без точек графика эти значения определить нельзя.

Типичные ошибки

Поменять местами оси. Так делают, когда забывают, что именно время выбирают, чтобы узнать координату. Проверьте подписи: t должно быть на горизонтальной оси, x — на вертикальной. Тогда точку можно прочитать как пару (t; x).

Считать координату перемещением. Координата показывает положение относительно начала отсчёта, а перемещение — изменение положения: Δx = x₂ − x₁. Ошибку допускают, потому что обе величины измеряются в метрах. Проверьте себя: у перемещения должны быть указаны начальная и конечная координаты.

Принимать наклон за ускорение. Наклон графика x(t) на прямом участке характеризует скорость, а не ускорение. Путаница возникает из-за привычки связывать крутизну любого графика с изменением движения. Чтобы проверить смысл наклона, разделите изменение координаты на изменение времени: получится скорость в м/с.

Считать отрицательную координату ошибкой. Отрицательное значение означает, что тело находится по другую сторону от начала координат. Оно возможно, если выбранное направление оси задаёт положительные значения в противоположную сторону. Проверьте положение нуля и направление оси: знак зависит от выбора начала и направления отсчёта.

Связь с другими темами

Для чтения графика нужны координатная ось, начало отсчёта, единицы длины и времени, а также понятия координаты, перемещения и скорости. Знание этих величин помогает строить описание движения и разбирать графики скорости. Тема служит основой для изучения равномерного и неравномерного движения и решения задач кинематики. Такие графики применяют и на практике: например, чтобы анализировать результаты физических экспериментов или движение транспортных средств.

Что запомнить

• По горизонтальной оси графика x(t) откладывают время, по вертикальной — координату.
• Каждая точка графика показывает координату тела в определённый момент времени.
• Горизонтальный участок означает покой тела.
• Наклон графика вверх соответствует движению в положительном направлении оси.
• Наклон графика вниз соответствует движению в отрицательном направлении оси.
• Скорость на прямом участке равна отношению изменения координаты к промежутку времени.
• Чем круче график x(t), тем больше модуль скорости.

График зависимости координаты от времени при равномерном движении.