2. График зависимости координаты тела от времени

Определения и обозначения

Координата тела — число, задающее положение тела на выбранной координатной оси. На графике её откладывают по вертикальной оси, обычно обозначая буквой x. Координата может быть положительной, отрицательной или равной нулю: знак показывает положение относительно начала оси, а не направление движения. Это число нужно, чтобы однозначно описать, где находится тело.

График зависимости координаты от времени — изображение, показывающее, как координата тела меняется с течением времени. Время t откладывают по горизонтальной оси, а координату x — по вертикальной. Каждая точка графика связывает один момент времени с положением тела в этот момент. Такой способ позволяет увидеть всё движение, а не только отдельные значения.

Начальная координата — координата тела в момент начала отсчёта времени. На графике её определяют при t = 0: это значение, соответствующее пересечению линии с вертикальной осью. Обозначение x₀ удобно при записи зависимости координаты от времени. Оно показывает, откуда тело начинает движение в выбранной системе отсчёта.

Скорость при прямолинейном равномерном движении — отношение изменения координаты к промежутку времени: v = Δx/Δt. На графике её определяют по наклону прямой, сравнивая, насколько изменилась координата за выбранное время. Знак скорости указывает направление движения вдоль оси, а модуль — насколько быстро меняется координата. Это позволяет извлечь из графика не только положение тела, но и характеристику его движения.

Как это устроено

Сначала выбирают масштабы для времени и координаты и подписывают оси, чтобы было понятно, сколько секунд или метров соответствует делению. Затем для известных моментов отмечают соответствующие координаты и получают точки графика. Их соединяют линией, если это соответствует характеру движения: например, при равномерном движении промежуточные положения меняются закономерно, поэтому точки лежат на одной прямой. Масштабы должны быть удобными, иначе значения трудно считывать и сравнивать.

При равномерном прямолинейном движении за равные промежутки времени координата изменяется на одинаковую величину. Поэтому зависимость координаты от времени линейная и её график — прямая. Если продолжить эту прямую до t = 0, пересечение с вертикальной осью даст начальную координату x₀, потому что именно там отложено положение в начале отсчёта. Для такого движения координату можно выразить формулой x = x₀ + vt.

Скорость связана с тем, насколько сильно линия наклонена к горизонтальной оси. За один и тот же промежуток времени более крутая прямая означает большее изменение координаты, а значит, больший модуль скорости. Если координата растёт, линия поднимается вправо и скорость положительна; если координата уменьшается, линия опускается и скорость отрицательна. Поэтому направление наклона сообщает направление движения относительно оси, а его крутизна — величину скорости.

Горизонтальный участок означает, что при изменении времени координата остаётся прежней. Поскольку тело не меняет положение относительно выбранной оси, оно покоится, а скорость равна нулю. Наклонённый участок показывает движение, так как координата меняется. Если наклон графика меняется, меняется и скорость: для равномерного движения на каждом отдельном участке она постоянна, но разные участки могут соответствовать разным скоростям.

По графику можно найти координату в заданный момент: нужно подняться от этого времени до линии и прочитать значение по вертикальной оси. Если задана координата, можно проделать обратный путь и определить время, когда линия достигает этого значения. Перемещение между двумя моментами находят как разность координат в конце и начале промежутка: Δx = x₂ − x₁. Такое чтение графика заменяет вычисления для каждой отдельной точки, если нужная линия уже построена.

График координаты тела от времени

Используйте таблицу как краткую подсказку: сначала определите, какую особенность линии рассматриваете, а затем прочитайте её физический смысл. Для скорости выбирайте две точки графика и сравнивайте изменения координаты и времени, а не оценивайте линию на глаз. Координату же считывают по вертикальной оси.

Разбор задач

Задача 1. Тело движется равномерно: при t = 0 с его координата равна 2 м, а при t = 3 с — 8 м. Постройте график координаты от времени. Сначала важно правильно распределить величины: время должно оказаться на горизонтальной оси, координата — на вертикальной. Поскольку движение равномерное, между заданными положениями координата меняется линейно.

1. Нанесите на оси точки (0 с; 2 м) и (3 с; 8 м), используя выбранный масштаб.
2. Проведите через эти точки прямую: для равномерного движения промежуточные положения также лежат на ней.
3. Проверьте направление линии: координата увеличивается с 2 м до 8 м, значит, прямая должна подниматься вправо.

Ответ: график — прямая через точки (0; 2) и (3; 8). Её начальная координата равна 2 м, а положительный наклон показывает движение в сторону увеличения координаты. Если продолжить эту прямую, можно находить положения тела и в другие моменты.

Задача 2. По графику равномерного движения координата тела изменилась с 4 м до 13 м за 3 с. Определите скорость и запишите зависимость координаты от времени. Изменение координаты положительно, поэтому тело движется в положительном направлении оси. Чтобы составить формулу, нужно также знать, в какой момент график показывает координату 4 м; принимаем, что это начальный момент, как подразумевается в условии.

1. Найдите изменение координаты: Δx = 13 м − 4 м = 9 м.
2. Разделите его на время: v = Δx/Δt = 9 м/3 с = 3 м/с.
3. Подставьте x₀ = 4 м и v = 3 м/с в формулу равномерного движения x = x₀ + vt.

Ответ: v = 3 м/с, x = 4 + 3t, если x измеряется в метрах, а t — в секундах. Проверка: при t = 3 с формула даёт x = 4 + 9 = 13 м. Совпадение с условием показывает, что знак скорости и вычисления выбраны верно.

Задача 3. На графике движения тела из точки x = 12 м линия за 4 с опускается до x = 0 м. Определите скорость, координату через 6 с и момент, когда тело окажется в точке x = −9 м. Линия идёт вниз, поэтому координата уменьшается и скорость должна быть отрицательной. Сначала найдём её по двум указанным точкам, затем используем одну формулу для обоих вопросов.

1. Вычислите скорость: v = (0 − 12)/4 = −3 м/с.
2. Запишите зависимость x = 12 − 3t и подставьте t = 6 с: x = 12 − 18 = −6 м.
3. Для x = −9 м решите уравнение −9 = 12 − 3t: получаем 3t = 21, значит, t = 7 с.

Ответ: скорость равна −3 м/с, через 6 с координата составит −6 м, а в точке x = −9 м тело окажется через 7 с. Отрицательные значения координаты здесь означают, что тело пересекло начало оси и оказалось по другую его сторону. Направление движения при этом всё время задаётся отрицательным знаком скорости.

Типичные ошибки

Оси иногда меняют местами: время откладывают по вертикали, а координату — по горизонтали. Так ошибаются, перенося привычный вид таблицы без проверки назначений осей. Проверьте подписи: время должно быть по горизонтали, координата — по вертикали; тогда каждой точке соответствует пара (t; x).

Наклон прямой могут принять за координату тела, хотя он показывает скорость. Это происходит потому, что более высокая точка кажется «большим значением движения». Разделите эти величины: координату считывайте по вертикальной оси, а скорость находите по изменению координаты за промежуток времени.

Скорость иногда определяют только по высоте точки, не учитывая время. Но одно значение координаты не говорит, насколько быстро двигалось тело: одинаковая координата может быть достигнута за разное время. Для проверки выберите две точки и вычислите отношение Δx/Δt; у равномерного движения результат не зависит от выбранной пары.

Отрицательную координату нередко считают признаком движения в отрицательном направлении. Знак координаты показывает, по какую сторону от начала оси находится тело, а направление движения задаётся знаком наклона графика. Чтобы не спутать их, сравните координаты в два момента: если поздняя меньше ранней, скорость отрицательна, даже если обе координаты положительные.

Связь с другими темами

Для чтения графика нужны координатная ось, смысл координаты тела и отсчёт времени: без выбора начала оси положение нельзя выразить числом, а без отсчёта времени нельзя указать момент. График также опирается на понятие скорости и модель равномерного прямолинейного движения, где скорость постоянна, а координата меняется линейно. Позже такие графики используют, чтобы сравнивать движения и находить скорость по графическому представлению, не ограничиваясь словесным описанием.

Что запомнить

• Время откладывают по горизонтальной оси, координату — по вертикальной.
• Точка графика показывает координату тела в определённый момент времени.
• Для равномерного прямолинейного движения график координаты — прямая.
• Пересечение графика с осью координаты при t = 0 задаёт начальную координату.
• Наклон графика показывает скорость.
• Горизонтальный участок соответствует покою.