4. Относительная скорость

Определения и обозначения

Система отсчёта — это тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы. Скорость тела задают именно относительно такой системы. Поэтому перед решением нужно понять, относительно дороги, поезда или другого объекта описывается движение.

Относительная скорость — скорость одного тела относительно другого. Она показывает, насколько быстро меняется положение первого тела для наблюдателя, связанного со вторым. Для её нахождения сравнивают движения обоих тел, а не рассматривают только одно из них.

Скорость сближения — скорость уменьшения расстояния между телами. Если тела движутся навстречу друг другу, каждое сокращает расстояние, поэтому скорости складываются. Эта величина помогает определить время до встречи.

Скорость удаления — скорость увеличения расстояния между телами. При движении в одном направлении она обычно равна разности скоростей, если быстрое тело удаляется от медленного. Так можно узнать, как быстро увеличивается промежуток между объектами.

Как это устроено

Скорость нельзя указать без системы отсчёта, потому что положение тела сравнивают с положением другого объекта. Пассажир, сидящий в автобусе, покоится относительно автобуса, но движется относительно дороги. Значит, для одного наблюдателя его скорость равна нулю, а для другого — скорости автобуса.

Чтобы найти скорость тела относительно другого, выбирают ось и положительное направление. Затем из скорости рассматриваемого тела вычитают скорость наблюдателя: vотн = vтела − vнаблюдателя. Знаки показывают направления, поэтому такой способ автоматически учитывает, движутся тела в одну сторону или навстречу.

При движении навстречу расстояние уменьшается сразу с двух сторон. Например, за одну секунду первое тело проходит навстречу второму 4 м, а второе проходит 5 м, поэтому промежуток сокращается на 9 м. Именно поэтому скорость сближения равна сумме модулей скоростей.

При движении в одном направлении оба тела перемещаются примерно в одну сторону, и обгоняющее тело выигрывает только разницу пройденных путей. Если автомобиль движется со скоростью 20 м/с, а велосипедист — 6 м/с, расстояние между ними уменьшается на 14 м за секунду. Если разность скоростей отрицательна для выбранного порядка тел, расстояние не сокращается, а увеличивается.

Для встречи или обгона сначала определяют, как быстро меняется расстояние, то есть находят скорость сближения. Затем начальное расстояние делят на неё: t = s / vсбл. При полном обгоне вместо одного промежутка берут путь, равный сумме длин поездов, потому что первый поезд должен целиком пройти мимо второго.

Относительная скорость при движении двух тел вдоль одной прямой

Сначала определите направления движения и выясните, уменьшается или увеличивается расстояние. Затем выберите сумму или разность скоростей и проверьте единицы измерения. Если скорости записаны со знаками относительно оси, можно использовать одну формулу vотн = v1 − v2.

Разбор задач

Задача 1

Два пешехода идут навстречу со скоростями 4 км/ч и 5 км/ч. Требуется найти скорость их сближения.

1. Пешеходы движутся навстречу, поэтому расстояние сокращается за счёт движения обоих.
2. Складываем модули скоростей: vсбл = 4 + 5 = 9 км/ч.

Ответ: скорость сближения равна 9 км/ч.

Задача 2

Автомобиль движется со скоростью 72 км/ч и догоняет велосипедиста со скоростью 18 км/ч. Расстояние между ними равно 300 м. Найдём время до встречи.

1. Движение происходит в одну сторону, поэтому vсбл = 72 − 18 = 54 км/ч.
2. Переведём скорость: 54 км/ч = 15 м/с.
3. Разделим расстояние на скорость сближения: t = 300 / 15 = 20 с.

Ответ: автомобиль догонит велосипедиста через 20 с.

Задача 3

Поезд длиной 120 м движется со скоростью 54 км/ч и обгоняет поезд длиной 180 м со скоростью 36 км/ч. Нужно найти время полного обгона.

1. Перейдём к относительному движению: vотн = 54 − 36 = 18 км/ч = 5 м/с.
2. Для полного обгона первый поезд должен пройти относительно второго сумму длин: s = 120 + 180 = 300 м.
3. Время обгона равно t = s / vотн = 300 / 5 = 60 с.

Ответ: полный обгон длится 60 с.

Типичные ошибки

Складывать скорости при движении в одном направлении — ошибка, потому что тела перемещаются в одну сторону. Сравнивать нужно не весь путь, а разницу пройденных путей. Проверьте: если скорости одинаковы, сближения быть не должно.

Вычитать скорости при движении навстречу неверно: оба тела сокращают расстояние между собой. Поэтому скорость сближения равна сумме модулей скоростей. Полезно мысленно отсчитать путь каждого за одну секунду.

Считать относительную скорость независимой от выбора описания движения рискованно. Нужно задать одну систему отсчёта и выразить в ней скорости обоих тел; при смене системы отдельные скорости меняются, а в более общем случае может измениться и их разность. Не смешивайте значения, полученные для разных наблюдателей.

Использовать несогласованные единицы нельзя: скорость в км/ч и расстояние в метрах дадут неправильный результат. Сначала переведите всё в метры и секунды или в километры и часы. После вычисления оцените, реалистично ли полученное время.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны формулы равномерного движения: скорость равна отношению пути ко времени, а путь — произведению скорости на время. Также необходимо уметь переводить единицы, например 1 м/с = 3,6 км/ч. Эти навыки позволяют не ошибаться в вычислениях.

Относительная скорость опирается на понятие системы отсчёта и встречается в задачах о поездах, автомобилях, лодках и пешеходах. Она помогает заменить сложное движение двух тел движением одного тела относительно другого. Особенно полезна такая модель при расчёте встречи и полного обгона.

Что запомнить

• Скорость тела указывают относительно выбранной системы отсчёта.
• Скорость тела относительно другого находят вычитанием их скоростей с учётом направлений.
• При движении навстречу скорость сближения равна сумме скоростей.
• При движении в одном направлении скорость сближения равна разности скоростей.
• Время до встречи или обгона равно расстоянию, делённому на скорость сближения.
• Перед вычислениями нужно привести величины к согласованным единицам.