§ 5. Прямолинейное равноускоренное движение

Определения и обозначения

Прямолинейное равноускоренное движение — движение по прямой, при котором ускорение постоянно. Значит, за любые равные промежутки времени скорость изменяется одинаково. Например, если за каждую секунду скорость возрастает на 2 м/с, движение равноускоренное. Это понятие позволяет описывать разгон и торможение одним набором уравнений.

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Его проекция равна отношению изменения проекции скорости ко времени: aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t. Здесь v₀ₓ — начальная проекция скорости, а vₓ — проекция скорости через время t. Ускорение показывает, насколько и в какую сторону меняется скорость за секунду.

Проекция ускорения — алгебраическая величина, то есть число со знаком, полученное при рассмотрении ускорения вдоль выбранной оси. Знак «плюс» означает направление вдоль положительного направления оси, знак «минус» — против него. Поэтому знак проекции зависит от выбора оси, а не только от того, разгоняется тело или тормозит. Это обозначение помогает записывать векторные величины в уравнениях движения.

Перемещение — векторная величина, равная изменению положения тела. При прямолинейном движении его проекция Δx = x − x₀ равна разности конечной и начальной координат. Отрицательная проекция означает перемещение против положительного направления оси. Перемещение нужно отличать от пути: путь показывает длину траектории и не бывает отрицательным.

Как это устроено

Сначала выбирают ось и её положительное направление. Величины, направленные вдоль оси, получают положительные проекции, а направленные противоположно — отрицательные. Так, если ось направлена вправо, движение влево описывается отрицательной проекцией скорости. Благодаря этому можно работать с направлением движения с помощью обычных чисел со знаками.

Постоянное ускорение означает, что за одинаковые интервалы времени скорость меняется на одинаковую величину. Поэтому проекция скорости изменяется линейно: за время t она меняется на aₓt. Если в начале движения она равна v₀ₓ, то vₓ = v₀ₓ + aₓt. Знак aₓ показывает, растёт или уменьшается проекция скорости, но для изменения модуля скорости нужно также учитывать знак самой скорости.

При постоянном ускорении средняя проекция скорости за промежуток времени равна полусумме начальной и конечной: vсрₓ = (v₀ₓ + vₓ)/2. Это справедливо потому, что скорость меняется равномерно, а значит, её среднее значение находится посередине между начальным и конечным. Перемещение равно произведению средней скорости на время. Подставив в это произведение формулу скорости, получаем Δx = v₀ₓt + aₓt²/2.

Координата показывает положение тела относительно начала отсчёта, а перемещение — насколько это положение изменилось. Поэтому конечная координата получается сложением начальной координаты и перемещения: x = x₀ + Δx. Подстановка формулы перемещения даёт x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2. Квадрат времени возникает из-за того, что скорость сама изменяется пропорционально времени, а накопленное перемещение складывается из движения при этой меняющейся скорости.

Иногда в задаче известны скорость и перемещение, но время не требуется или его нельзя удобно найти. Чтобы убрать t, выражают его из уравнения скорости: t = (vₓ − v₀ₓ)/aₓ, а затем подставляют в формулу перемещения. После преобразования получается vₓ² − v₀ₓ² = 2aₓΔx. Эта связь полезна, например, при расчёте тормозного пути, когда известны начальная скорость и ускорение.

При равноускоренном движении координата меняется по квадратичному закону: в общем случае x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2. На графике зависимости координаты от времени это означает, что получается кривая, а не прямая. Для частного случая x₀ = 0, v₀ₓ = 0 и aₓ = 2 м/с² формула принимает вид x = t². Чем больше время, тем быстрее растёт координата.

Основные величины и уравнения прямолинейного равноускоренного движения

Сначала выберите ось, задайте знаки проекций и выпишите известные величины в единицах СИ. Затем выберите уравнение, в котором есть нужная величина и известные данные. Если координата нужна вместо перемещения, учтите начальную координату: x = x₀ + Δx.

Разбор задач

Скорость тела, начавшего движение из покоя

Тело начинает движение из состояния покоя с ускорением 2 м/с². Найдём скорость через 3 с. Так как тело движется по прямой, выбираем ось вдоль движения: тогда начальная скорость и ускорение положительны. В условии все величины уже заданы в единицах СИ.

1. Записываем данные: v₀ₓ = 0, aₓ = 2 м/с², t = 3 с.
2. Используем формулу скорости vₓ = v₀ₓ + aₓt.
3. Подставляем значения: vₓ = 0 + 2 м/с² · 3 с = 6 м/с.

За каждую секунду скорость увеличивается на 2 м/с, поэтому через три секунды она равна 6 м/с. Единица м/с получается после сокращения секунд в произведении ускорения на время. Ответ: 6 м/с.

Торможение автомобиля

Автомобиль движется со скоростью 20 м/с и равномерно тормозит с ускорением −4 м/с². Нужно найти время до остановки и тормозной путь. Направим ось по движению автомобиля, тогда v₀ₓ = 20 м/с, а ускорение отрицательно. При остановке проекция скорости равна нулю.

1. Из уравнения vₓ = v₀ₓ + aₓt находим время: t = (0 − 20)/−4 = 5 с.
2. Находим перемещение: Δx = v₀ₓt + aₓt²/2.
3. Подставляем: Δx = 20 · 5 + (−4) · 5²/2 = 100 − 50 = 50 м.

Отрицательное ускорение уменьшает положительную скорость, пока автомобиль не остановится. Полученное перемещение направлено по ходу движения, поэтому его величина и есть тормозной путь. Ответ: время до остановки — 5 с, тормозной путь — 50 м.

Изменение скорости и конечная координата

За 5 с скорость тела изменилась с −3 м/с до 7 м/с, а начальная координата равна 4 м. Направление оси уже отражено в знаках скоростей: сначала тело движется против оси, затем скорость становится положительной. Найдём сначала ускорение, после этого — перемещение и координату.

1. Вычисляем ускорение: aₓ = (7 − (−3))/5 = 2 м/с².
2. Средняя проекция скорости равна (−3 + 7)/2 = 2 м/с. Тогда Δx = 2 · 5 = 10 м.
3. Используем x = x₀ + Δx: x = 4 + 10 = 14 м.

Средняя скорость здесь положительна, хотя в начале тело двигалось против оси: за рассматриваемое время движение в положительном направлении перевесило. Перемещение равно 10 м, а конечная координата отсчитывается от начала координат и равна 14 м. Ответ: aₓ = 2 м/с², Δx = 10 м, x = 14 м.

Типичные ошибки

• Считать ускорение положительным только потому, что тело разгоняется. Знак задаёт выбранная ось, а разгон означает увеличение модуля скорости. Ошибку допускают, смешивая знак проекции и быстроту движения; проверьте, совпадают ли направления ускорения и скорости.
• Подставлять модуль скорости вместо проекции. При движении против оси проекция скорости отрицательна, даже если её модуль положителен. Перед вычислением укажите направление оси и знак каждой скорости; подстановка только модуля может изменить ответ.
• Забывать множитель ½. В формулах перемещения и координаты он появляется при усреднении начальной и конечной скоростей. Без него вклад ускорения окажется вдвое больше; проверьте вывод через Δx = vсрₓt и vсрₓ = (v₀ₓ + vₓ)/2.
• Смешивать перемещение и путь. Проекция перемещения учитывает направление и может быть отрицательной, а путь — длина траектории и неотрицателен. Ошибка вероятна, если знак результата трактуют как «отрицательное расстояние»; уточните, что именно спрашивается в условии.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны координата, перемещение, скорость и проекция вектора на ось. Они позволяют описывать движение числами и учитывать направление без записи векторных уравнений. Полезно также понимать равномерное прямолинейное движение: оно получается при нулевом ускорении.

Уравнения равноускоренного движения помогают решать задачи на разгон, торможение и встречное движение. Они также подготавливают к чтению графиков движения: график координаты при постоянном ускорении обычно имеет форму кривой. Те же уравнения применяются при изучении движения тел под действием силы тяжести, если ускорение свободного падения считать постоянным.

Что запомнить

• При равноускоренном движении ускорение постоянно.
• Проекция скорости изменяется по закону vₓ = v₀ₓ + aₓt.
• Перемещение равно Δx = v₀ₓt + aₓt²/2.
• Координата равна x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2.
• Связь vₓ² − v₀ₓ² = 2aₓΔx позволяет решать задачи без времени.
• Знак проекции зависит от выбора направления оси.