§ 3. Прямолинейное равноускоренное движение

Определения и обозначения

Прямолинейное равноускоренное движение — движение по прямой с постоянным ускорением. Это значит, что за равные промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину. Такое описание подходит для разгона или торможения, если ускорение в рассматриваемом промежутке не меняется.

Ускорение — векторная величина, которая показывает, насколько быстро меняется скорость и в какую сторону. Его находят по формуле a = (v − v₀)/t, где v₀ и v — начальная и конечная скорости за время t. Единица ускорения в СИ — м/с²: за каждую секунду скорость изменяется на столько метров в секунду.

Проекция ускорения — алгебраическая величина, описывающая направление ускорения относительно выбранной оси. Если проекция скорости становится больше, проекция ускорения положительна; если меньше — отрицательна. Это позволяет учитывать направление движения в вычислениях одним знаком.

Начальные координата и скорость — координата и скорость тела в момент начала отсчёта времени, то есть при t = 0. Их обозначают x₀ и v₀ (или v₀ₓ для проекции скорости). Эти величины задают точку, от которой начинается описание движения.

Как это устроено

Постоянное ускорение означает одинаковое изменение скорости за любые равные промежутки времени. Например, если за каждую секунду проекция скорости прибавляет 2 м/с, то через две секунды она увеличится на 4 м/с. Поэтому скорость меняется линейно со временем, а её график представляет собой прямую. Чем круче наклон этой прямой, тем больше модуль ускорения.

Из определения ускорения aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t следует, что vₓ − v₀ₓ = aₓt. Перенос начальной скорости в правую часть даёт уравнение vₓ = v₀ₓ + aₓt. Если aₓ положительно, проекция скорости растёт, а если отрицательно — уменьшается. Однако это ещё не говорит само по себе, растёт ли модуль скорости: нужно сравнить знаки vₓ и aₓ.

При постоянном ускорении скорость изменяется равномерно, поэтому её среднее значение за промежуток равно полусумме начальной и конечной скоростей: vсрₓ = (v₀ₓ + vₓ)/2. Перемещение равно средней скорости, умноженной на время: sₓ = vсрₓt. Подставив уравнение скорости и сократив слагаемые, получаем sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2. Первое слагаемое описывает перемещение, которое было бы при сохранении начальной скорости, второе учитывает действие ускорения.

Координата после перемещения равна начальной координате плюс проекция перемещения: x = x₀ + sₓ. Подстановка формулы для перемещения даёт уравнение движения x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2. Слагаемое x₀ задаёт начальное положение, v₀ₓt — вклад начальной скорости, а aₓt²/2 — вклад ускорения. Выбор оси определяет знаки всех проекций: ускорение может быть направлено как вдоль движения, так и против него, поэтому модуль скорости может как расти, так и уменьшаться.

На графике скорости наклон прямой отражает проекцию ускорения, а на графике координаты при ненулевом ускорении получается кривая. В примерах ниже видно, как уравнения помогают связать величины движения с выбранными знаками.

Основные величины и уравнения прямолинейного равноускоренного движения

Выбирайте уравнение по тем величинам, которые даны и которые требуется найти. Перед подстановкой задайте ось и укажите проекции со знаками, а время выражайте в секундах. Если время в условии не дано и не требуется, может быть удобна формула без времени.

Разбор задач

Скорость автомобиля

Автомобиль начинает движение из состояния покоя и движется с ускорением 2 м/с². Найдём скорость через 5 с. Состояние покоя означает, что начальная скорость равна нулю, а ускорение направлено вдоль движения. Поэтому проекции скорости и ускорения положительны, если ось направить по движению.

1. Записываем данные: v₀ₓ = 0, aₓ = 2 м/с², t = 5 с.
2. Выбираем уравнение скорости: vₓ = v₀ₓ + aₓt.
3. Подставляем значения: vₓ = 0 + 2 · 5 = 10 м/с.

Единицы согласованы: м/с², умноженные на секунды, дают м/с. Полученная скорость положительна и больше начальной, что соответствует разгону. Ответ: 10 м/с.

Отрицательное ускорение

Тело движется вдоль оси со скоростью 12 м/с и ускорением −3 м/с². Требуется определить скорость и перемещение за 2 с. Ось направлена по начальному движению, поэтому начальная скорость положительна, а ускорение направлено против оси. Проверим, не успеет ли тело остановиться за это время.

1. Записываем данные: v₀ₓ = 12 м/с, aₓ = −3 м/с², t = 2 с.
2. Находим скорость: vₓ = 12 + (−3) · 2 = 6 м/с. Она остаётся положительной, значит, направление движения не изменилось.
3. Находим перемещение: sₓ = 12 · 2 + (−3) · 2²/2 = 24 − 6 = 18 м.

Ускорение уменьшает скорость, но за две секунды тело не останавливается: скорость остаётся направленной вдоль оси. Положительное перемещение согласуется с этим выводом. Ответ: скорость 6 м/с, перемещение 18 м.

Торможение поезда

Поезд двигался со скоростью 20 м/с и равномерно замедлялся до остановки за 10 с. Найдём ускорение и тормозной путь. Направим ось по начальному движению: начальная скорость положительна, конечная равна нулю, а ускорение при торможении будет отрицательным. Путь здесь равен модулю перемещения, поскольку поезд всё время движется в одном направлении.

1. Записываем данные: v₀ₓ = 20 м/с, vₓ = 0, t = 10 с.
2. Из vₓ = v₀ₓ + aₓt находим aₓ = (0 − 20)/10 = −2 м/с².
3. Вычисляем перемещение: sₓ = 20 · 10 + (−2) · 10²/2 = 200 − 100 = 100 м.

Отрицательное ускорение означает, что оно направлено против выбранной оси, а не то, что путь отрицателен. Перемещение положительно, и его модуль равен пройденному пути. Ответ: ускорение −2 м/с², тормозной путь 100 м.

Типичные ошибки

• Считать ускорение положительным только потому, что тело разгоняется. Знак проекции задаётся осью: разгоняющее ускорение может иметь отрицательный знак, если ось направлена противоположно ему. Проверьте, куда направлены ось и ускорение, прежде чем записывать знак.
• Подставлять модули вместо проекций. Тогда теряется информация о направлении, и можно получить неверный знак скорости или перемещения. Запишите знаки всех векторов относительно одной оси и проверьте их в формуле.
• Путать перемещение с пройденным путём. Перемещение учитывает начальное и конечное положения, а путь — всю траекторию. Если направление движения менялось, сравните найденное перемещение с описанием движения: путь не может быть меньше модуля перемещения.
• Применять формулы без проверки условий. Они подходят для прямолинейного движения с постоянным ускорением, а не для любого движения. Уточните, сохраняется ли направление траектории и остаётся ли ускорение постоянным на всём интервале.

Связь с другими темами

Для работы с равноускоренным движением нужны понятия координаты, перемещения, скорости и проекции вектора. Полезно также понимать равномерное прямолинейное движение: оно получается как частный случай при нулевом ускорении. Выбор оси и знаков связывает расчёты с геометрическим смыслом движения.

Уравнения и графики координаты, скорости и ускорения помогают описывать движение под действием постоянной силы. В частности, ускорение свободного падения можно рассматривать как постоянное ускорение, поэтому те же приёмы применяют к падению тел. Освоенные знаки позволяют не путать направление движения с направлением ускорения.

Что запомнить

• При прямолинейном равноускоренном движении ускорение постоянно.
• Проекция скорости изменяется по закону vₓ = v₀ₓ + aₓt.
• Перемещение равно sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2.
• Координата тела определяется формулой x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2.
• Знак проекции ускорения зависит от выбора положительного направления оси.
• Формулы применяют к проекциям величин и согласованным единицам измерения.