§ 5. Прямолинейное равноускоренное движение

Определения и обозначения

Прямолинейное равноускоренное движение — движение по прямой, при котором ускорение постоянно. Поэтому за равные промежутки времени скорость изменяется одинаково. Например, за каждую секунду она может увеличиваться на одно и то же значение или уменьшаться на него. Такая модель помогает описывать разгон и торможение.

Ускорение — векторная величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени: a = Δv/Δt. Оно показывает, насколько меняется скорость за единицу времени, а не то, насколько быстро тело движется. Ускорение обозначают буквой a, его единица СИ — метр в секунду за секунду, или м/с². В задачах вдоль прямой обычно рассматривают проекцию ускорения на ось.

Начальная скорость — скорость тела в выбранный начальный момент времени, обозначается v₀. Этот момент принимают за начало отсчёта времени, поэтому в формулах начальная скорость соответствует t = 0. Начальная скорость не обязательно равна нулю: тело могло двигаться ещё до начала наблюдения. Её проекция v₀ₓ зависит от выбора направления оси.

Перемещение — вектор, направленный из начального положения тела в конечное. При движении по прямой его проекция равна изменению координаты: sₓ = x − x₀. Перемещение учитывает направление, в отличие от пройденного пути, который не бывает отрицательным. Поэтому проекция перемещения нужна, чтобы связывать движение с координатой и выбранной осью.

Как это устроено

Постоянное ускорение означает одинаковое изменение скорости за одинаковые промежутки времени. Причина в самом определении ускорения: если за каждый промежуток Δt величина aₓ одна и та же, то изменение проекции скорости Δvₓ = aₓΔt тоже одинаково. Поэтому скорость меняется линейно со временем. Знак aₓ указывает, в какую сторону изменяется проекция скорости, а не обязательно куда движется тело.

Из определения ускорения aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t получается формула vₓ = v₀ₓ + aₓt. Она позволяет найти проекцию скорости спустя время t, если известны начальная скорость и ускорение. Когда aₓ и v₀ₓ имеют одинаковые знаки, модуль скорости обычно растёт; когда знаки противоположны — уменьшается, пока тело не остановится. После остановки тело может начать двигаться в обратную сторону.

Перемещение за время t равно средней скорости, умноженной на время: sₓ = vсрₓt. При постоянном ускорении скорость меняется равномерно, поэтому её среднее значение за промежуток равно полусумме начальной и конечной проекций: vсрₓ = (v₀ₓ + vₓ)/2. Подставляя эту среднюю скорость, получаем sₓ = (v₀ₓ + vₓ)t/2. Такая запись удобна, если известны обе скорости и время движения.

Чтобы получить координату, сначала используем связь перемещения и координат: x = x₀ + sₓ. В формулу перемещения подставляем vₓ = v₀ₓ + aₓt и упрощаем: sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2. Значит, координата тела определяется выражением x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2. Слагаемое с t² учитывает изменение скорости, а не просто движение с постоянной начальной скоростью.

Ось выбирают так, чтобы удобнее было описывать движение, например направляют её вдоль начальной скорости. Если тело движется по положительному направлению оси, v₀ₓ положительна; если в противоположную сторону — отрицательна. Знак aₓ определяют отдельно по направлению ускорения: при совпадении его направления с положительным направлением оси знак плюс, при противоположном — минус. Поэтому разгон и торможение устанавливают сравнением знаков vₓ и aₓ, а не по одному лишь знаку ускорения.

Основные величины и соотношения при равноускоренном движении

Сначала определите, какие величины известны и что требуется найти, затем выберите подходящую строку. Если время дано, часто удобно использовать формулы скорости или перемещения; если времени нет — связь скорости и перемещения. Перед подстановкой проверьте, что все проекции записаны относительно одной и той же оси.

Разбор задач

Автомобиль начинает движение из состояния покоя и движется с ускорением 2 м/с². Найдём его скорость через 5 с. Направим положительную ось по движению автомобиля. Начальная скорость равна нулю, а проекция ускорения положительна.

1. Запишем данные: v₀ₓ = 0, aₓ = 2 м/с², t = 5 с. Требуется найти vₓ.
2. Применим уравнение скорости: vₓ = v₀ₓ + aₓt. Подстановка даёт vₓ = 0 + 2 · 5 = 10 м/с.

Скорость получилась положительной, значит, она направлена вдоль выбранной оси. За пять секунд автомобиль успел набрать скорость 10 м/с. Ответ: 10 м/с.

Тело движется со скоростью 12 м/с и равномерно тормозит с ускорением 3 м/с² по модулю. Найдём время до остановки и тормозной путь. Направим ось по начальной скорости, поэтому v₀ₓ = 12 м/с, а ускорение направлено против оси: aₓ = −3 м/с². При остановке конечная скорость равна нулю.

1. Из уравнения vₓ = v₀ₓ + aₓt выразим время: t = (vₓ − v₀ₓ)/aₓ. Тогда t = (0 − 12)/(−3) = 4 с.
2. Для перемещения используем sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2. Подставляем значения: sₓ = 12 · 4 − 3 · 4²/2 = 48 − 24 = 24 м.

Проекция перемещения положительна, потому что тело до остановки продолжало двигаться по направлению оси. Тормозной путь равен модулю этого перемещения. Ответ: время до остановки — 4 с, тормозной путь — 24 м.

Тело движется прямолинейно с начальной скоростью 4 м/с и постоянным ускорением. За 6 с оно проходит 60 м. Определим ускорение и конечную скорость. Направим ось по движению и считаем, что указанное перемещение равно 60 м; тогда v₀ₓ = 4 м/с, sₓ = 60 м, t = 6 с.

1. Запишем уравнение перемещения sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2. Подставим данные: 60 = 4 · 6 + aₓ · 6²/2, то есть 60 = 24 + 18aₓ.
2. Решим уравнение: 36 = 18aₓ, откуда aₓ = 2 м/с². Теперь найдём конечную скорость по формуле vₓ = v₀ₓ + aₓt.
3. Подстановка даёт vₓ = 4 + 2 · 6 = 16 м/с. Положительный знак показывает, что конечная скорость направлена вдоль выбранной оси.

Вторую формулу используем после нахождения ускорения, потому что для скорости оно уже известно. Результат согласуется с условием: положительное ускорение увеличивает скорость в выбранном направлении. Ответ: ускорение — 2 м/с², конечная скорость — 16 м/с.

Типичные ошибки

Считать ускорение положительным только потому, что тело разгоняется, неверно: знак проекции зависит от выбранной оси. Так ошибаются, смешивая физическое направление ускорения со знаком числа. Перед вычислением отметьте ось и сравните направление ускорения с её положительным направлением. Если тело разгоняется, проекции скорости и ускорения направлены одинаково, даже если обе отрицательны.

Путать ускорение с изменением скорости — значит забывать, что изменение скорости делится на промежуток времени. Это часто происходит из-за того, что обе величины описывают перемену скорости. Проверьте единицы: изменение скорости измеряется в м/с, ускорение — в м/с². В формуле должно быть учтено время.

Подстановка модуля скорости вместо проекции стирает информацию о направлении и может дать неверный знак перемещения или ускорения. Ошибка особенно вероятна, когда тело меняет направление или движется против оси. Запишите проекции скоростей до подстановки и проверьте их знаки по выбранной оси. Модуль скорости используют только там, где спрашивают именно величину скорости.

Формулы равноускоренного движения нельзя применять, если ускорение меняется со временем. Ученик может выбрать их только потому, что в условии говорится об ускорении, не проверив, постоянно ли оно. Найдите в условии подтверждение постоянства ускорения или равномерного изменения скорости. Если ускорение переменное, нужны другие способы описания движения.

Связь с другими темами

Для изучения равноускоренного движения нужны координата, перемещение, скорость и проекция вектора на ось. Также необходимо уметь переводить величины в единицы СИ и учитывать их размерность. Эти понятия позволяют записывать движение с помощью чисел и знаков, не теряя информацию о направлении. Без выбора оси нельзя корректно применять формулы для проекций.

Тема продолжает изучение равномерного прямолинейного движения: теперь скорость не постоянна, а изменяется по известному закону. Формулы равноускоренного движения помогают строить и читать графики скорости и координаты. На графике скорости от времени наклон прямой показывает ускорение; если скорость отрицательна, а ускорение положительно, модуль скорости сначала уменьшается. Эти навыки пригодятся при анализе движения и решении задач.

Что запомнить

• При равноускоренном прямолинейном движении проекция ускорения постоянна.
• vₓ = v₀ₓ + aₓt.
• sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2.
• x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2.
• vₓ² − v₀ₓ² = 2aₓsₓ.
• Знак проекции ускорения определяется выбором оси, а не словами «разгон» или «торможение».