§ 3. Прямолинейное равноускоренное движение

Определения и обозначения

Прямолинейное движение — движение тела по прямой. Чтобы описывать его координатами, выбирают ось и её положительное направление. Величины, направленные по оси, имеют положительные проекции, а направленные против неё — отрицательные.

Ускорение — векторная физическая величина, показывающая, как изменяется скорость за единицу времени: a = Δv/Δt. Чем быстрее меняется скорость, тем больше ускорение. Направление ускорения совпадает с направлением изменения скорости.

Равноускоренное движение — движение с постоянным ускорением. При прямолинейном движении это означает, что проекция ускорения на выбранную ось aₓ не меняется со временем. Поэтому за равные промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину.

Начальная скорость — скорость тела в момент, с которого начинают отсчитывать время. Её обозначают v₀ₓ, если рассматривают проекцию на ось x. При выборе момента начала отсчёта t = 0 скорость равна v₀ₓ, а координата тела равна x₀.

Как это устроено

За промежуток времени Δt скорость изменяется на величину Δv = v₂ − v₁. Поэтому ускорение находят делением изменения скорости на длительность этого промежутка: a = Δv/Δt. Ускорение направлено так же, как Δv, потому что деление вектора на положительное время не меняет его направления.

Если ускорение постоянно, то за каждую секунду скорость получает одинаковую добавку aₓ. За равные промежутки времени эти добавки равны, поскольку произведение aₓΔt имеет одно и то же значение. Поэтому скорость при равноускоренном движении меняется равномерно, хотя само тело может разгоняться или тормозить.

Из определения aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t после умножения на t и переноса v₀ₓ получаем vₓ = v₀ₓ + aₓt. Формула показывает, что скорость состоит из начальной скорости и изменения, накопленного за время t. Она применима при постоянной проекции ускорения.

Перемещение равно произведению средней скорости на время: Δx = vсрt. При постоянном ускорении скорость изменяется линейно, поэтому средняя скорость равна полусумме начальной и конечной: vср = (v₀ₓ + vₓ)/2. Подстановка этой величины даёт Δx = ((v₀ₓ + vₓ)/2)t.

Чтобы найти координату, к начальной координате прибавляют перемещение: x = x₀ + Δx. Подставив в перемещение конечную скорость vₓ = v₀ₓ + aₓt и упростив выражение, получаем x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2. Формула позволяет определить положение тела в любой заданный момент.

Величины и уравнения прямолинейного равноускоренного движения

Сначала определите, какая величина неизвестна, и выберите формулу, содержащую её и известные данные. Перед подстановкой проверьте знаки проекций и переведите все величины в единицы СИ.

Разбор задач

1. Нахождение ускорения

Автомобиль увеличил скорость с 4 м/с до 10 м/с за 3 с. Требуется найти проекцию ускорения при прямолинейном движении. Положительное направление выберем по движению автомобиля, поэтому обе скорости положительны.

1. Запишем данные: v₀ₓ = 4 м/с, vₓ = 10 м/с, t = 3 с.
2. Используем определение: aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t = (10 − 4)/3 = 2 м/с².
3. Единица м/с² получается из деления м/с на секунды.

Ответ: aₓ = 2 м/с².

2. Скорость и перемещение

Тело движется вдоль оси x, имея v₀ₓ = 3 м/с и aₓ = 2 м/с². Нужно найти скорость и перемещение за t = 4 с. Поскольку скорость и ускорение положительны, тело движется в положительном направлении и разгоняется.

1. Найдём скорость: vₓ = v₀ₓ + aₓt = 3 + 2·4 = 11 м/с.
2. Средняя скорость равна vср = (3 + 11)/2 = 7 м/с.
3. Перемещение: Δx = vсрt = 7·4 = 28 м.

Ответ: vₓ = 11 м/с, Δx = 28 м.

3. Остановка тела

Дано: x₀ = 5 м, v₀ₓ = 12 м/с, aₓ = −2 м/с². Остановка наступает в момент, когда проекция скорости станет равной нулю. Отрицательное ускорение здесь направлено против начальной скорости, поэтому тело замедляется.

1. Из уравнения скорости: 0 = 12 − 2t, откуда t = 6 с.
2. Подставим это время в координатное уравнение: x = 5 + 12·6 + (−2)·6²/2.
3. Получаем x = 5 + 72 − 36 = 41 м.

Ответ: тело остановится через 6 с, его координата в этот момент равна 41 м. Знак ускорения сам по себе не определяет торможение: нужно сравнить знаки скорости и ускорения.

Типичные ошибки

Положительное ускорение связывают только с разгоном. Знак проекции определяется выбранным направлением оси, а не тем, увеличивается ли модуль скорости. Проверьте, совпадает ли направление ускорения с положительным направлением.

Отрицательное ускорение принимают за торможение. Торможение происходит при противоположных знаках vₓ и aₓ, тогда как одинаковые знаки означают увеличение модуля скорости. Сравните именно проекции, а не только число перед ускорением.

Путь подставляют вместо перемещения. Перемещение учитывает знак и может быть отрицательным, а путь показывает длину пройденной траектории. Если тело меняло направление, отдельно проверьте, какую величину требует задача.

Забывают коэффициент ½ или квадрат времени. В координатном уравнении ускорительная добавка имеет вид aₓt²/2. Проверьте запись формулы и размерность: произведение ускорения на t² должно иметь единицу метра.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны координата, перемещение, скорость, проекция вектора и график зависимости величины от времени. Эти уравнения применяются при анализе свободного падения и движения тела, брошенного вертикально вверх, если выбрать вертикальную ось. Они также служат основой решения задач по графикам скорости и координаты: наклон графика vₓ(t) связан с ускорением, а изменение координаты — с перемещением.

Что запомнить

• При равноускоренном прямолинейном движении проекция ускорения постоянна.
• Ускорение показывает, как меняется скорость за единицу времени.
• Проекция скорости: vₓ = v₀ₓ + aₓt.
• Перемещение при постоянном ускорении равно средней скорости, умноженной на время.
• Координата: x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2.
• Знаки проекций определяются выбранным направлением оси.