1. Зависимость скорости от времени при прямолинейном равноускоренном движении

Определения и обозначения

Прямолинейное равноускоренное движение — движение по прямой с постоянным ускорением. Это означает, что скорость меняется одинаково за одинаковые промежутки времени. Такая модель описывает, например, разгон автомобиля на прямом участке.

Ускорение — векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени: a = Δv/Δt. Его обозначают буквой a и измеряют в м/с². Ускорение показывает, насколько быстро изменяется скорость и в каком направлении происходит это изменение.

Начальная скорость — скорость тела в момент, принятый за начало отсчёта времени; её обозначают v₀. Она нужна, чтобы учитывать движение, которое уже происходило до начала наблюдения. Если тело начинают разгонять из покоя, v₀ = 0.

Мгновенная скорость — скорость тела в конкретный момент времени, обозначаемая v(t). При равноускоренном движении она зависит от времени по определённому закону. Это позволяет найти скорость не только в конце всего движения, но и в любой выбранный момент.

Как это устроено

Сначала выбирают положительное направление координатной оси. Скорость получает знак «плюс», если тело движется вдоль этого направления, и знак «минус» — если в противоположную сторону. Ускорение также имеет знак: он показывает, в какую сторону направлено изменение скорости относительно выбранной оси.

При постоянном ускорении за одинаковые промежутки времени происходит одинаковое изменение скорости. Например, при a = 2 м/с² за каждую секунду скорость увеличивается на 2 м/с, если ускорение и скорость направлены согласно выбранной оси. Поэтому последовательность значений скорости образует равномерно изменяющийся ряд.

Из определения ускорения получаем a = (v − v₀)/t, если начальный момент принят за t = 0. Умножим обе части на t: at = v − v₀, а затем прибавим v₀ и получим основную формулу v(t) = v₀ + at. Она связывает начальную скорость, ускорение и время.

В формуле v(t) = v₀ + at переменная t входит в первой степени, поэтому график зависимости скорости от времени является прямой. При t = 0 значение скорости равно v₀, значит, прямая пересекает ось скорости в точке v₀. Коэффициент при t равен a, поэтому он определяет наклон: чем больше модуль ускорения, тем круче прямая.

Если a > 0, график поднимается вправо, а если a < 0 — опускается. Однако знак ускорения сам по себе не говорит, увеличивается ли модуль скорости: при v > 0 и a < 0 тело тормозит, а при v < 0 и a < 0 его скорость по модулю возрастает. Для вывода о разгоне или торможении нужно сравнить направления скорости и ускорения.

Величины и свойства зависимости скорости от времени

При чтении графика сначала найдите значение v при t = 0, а затем определите наклон прямой. Для вычисления ускорения удобно взять две хорошо различимые точки и использовать отношение Δv/Δt.

Не следует путать высоту точки с ускорением: высота показывает скорость, а наклон показывает, как быстро она меняется. Если прямая горизонтальна, скорость постоянна, потому что её наклон и ускорение равны нулю.

Разбор задач

Задача 1

Автомобиль начинает движение со скоростью 5 м/с и движется с ускорением 2 м/с². Найдём скорость через 6 с. Начальная скорость уже не равна нулю, поэтому использовать только произведение at нельзя.

1. Запишем данные: v₀ = 5 м/с, a = 2 м/с², t = 6 с.
2. Применим формулу v = v₀ + at.
3. Подставим значения: v = 5 + 2 · 6 = 17 м/с.

Ответ: скорость автомобиля через 6 с равна 17 м/с.

Задача 2

Скорость велосипедиста увеличилась с 4 до 10 м/с за 3 с. Нужно определить ускорение и скорость через 8 с от начала наблюдения. Сначала найдём, насколько скорость изменяется за одну секунду.

1. Вычислим ускорение: a = (10 − 4)/3 = 2 м/с².
2. Начальная скорость наблюдения равна v₀ = 4 м/с.
3. Через 8 с получим v = 4 + 2 · 8 = 20 м/с.

Ответ: ускорение равно 2 м/с², скорость через 8 с — 20 м/с.

Задача 3

Дано v(t) = 18 − 3t м/с. Здесь сразу видны начальная скорость v₀ = 18 м/с и ускорение a = −3 м/с². Найдём момент остановки и опишем график на промежутке от 0 до 7 с.

1. При остановке v = 0, поэтому 18 − 3t = 0, откуда t = 6 с.
2. Для построения графика достаточно отметить точки (0; 18), (6; 0) и (7; −3), затем соединить их прямой.
3. После 6 с скорость становится отрицательной, значит, тело движется в противоположном направлении. Модуль скорости после остановки увеличивается.

Ответ: тело останавливается через 6 с; на 7-й секунде его скорость равна −3 м/с, а направление движения изменилось.

Типичные ошибки

Записывают v = at. Так поступают, когда вспоминают только случай старта из покоя и забывают о начальной скорости. Проверьте себя: если при t = 0 формула даёт не v₀, она применима лишь к частному случаю v₀ = 0.

Путают ускорение со скоростью. Причина — похожие физические смыслы: обе величины связаны с движением, но ускорение описывает изменение скорости. Проверка проста: у скорости единица м/с, а у ускорения — м/с².

Считают отрицательное ускорение всегда торможением. Знак зависит от выбранной оси, а торможение определяется противоположными направлениями скорости и ускорения. Сначала установите знак скорости, затем сравните его со знаком a.

Неверно находят ускорение по графику. За ускорение принимают высоту точки или само значение скорости, потому что смотрят на координату, а не на наклон. Возьмите две точки и вычислите a = (v₂ − v₁)/(t₂ − t₁).

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия скорости, перемещения, времени, координатной оси и векторного направления. Без выбора положительной оси нельзя правильно определить знаки скорости и ускорения.

Зависимость скорости от времени опирается на определение ускорения и формулы равномерного движения. Она показывает, как равномерное движение обобщается на случай изменяющейся скорости.

Дальше формула v(t) поможет находить перемещение и координату при равноускоренном движении. Графики скорости также нужны для анализа различных кинематических процессов.

Что запомнить

• При прямолинейном равноускоренном движении ускорение постоянно.
• Основная формула зависимости скорости от времени: v = v₀ + at.
• Начальная скорость равна значению скорости при t = 0.
• За равные промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину.
• График v(t) при постоянном ускорении является прямой.
• Наклон графика v(t) характеризует ускорение.
• Знак скорости и знак ускорения определяются выбранным положительным направлением оси.