§ 5. Прямолинейное равноускоренное движение

Определения и обозначения

Прямолинейное равноускоренное движение — движение по прямой с постоянным ускорением. Это значит, что за равные промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину. Так могут двигаться автомобиль при разгоне или поезд при равномерном торможении; модель помогает описывать их движение формулами.

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая изменение скорости за единицу времени; его обозначают a. В задачах на прямую обычно рассматривают проекцию ускорения на выбранную ось. Единица ускорения в СИ — метр на секунду в квадрате, м/с².

Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени, её обозначают v. Она может меняться, хотя ускорение остаётся постоянным. Ускорение показывает, как быстро меняется скорость, а не то, насколько быстро тело движется.

Уравнение координаты — зависимость координаты тела от времени при равноускоренном движении. Начальную координату обозначают x₀, а начальную скорость — v₀; обе относятся к моменту t = 0. Уравнение позволяет найти положение тела в любой момент, если известны начальные условия и ускорение.

Как это устроено

Ускорение определяют как изменение скорости за промежуток времени: a = (v − v₀)/t. Если ускорение постоянно, за каждую секунду скорость меняется одинаково, а за два одинаковых промежутка — на одинаковую суммарную величину. Например, при a = 2 м/с² скорость каждую секунду увеличивается на 2 м/с, если проекция ускорения положительна. Поэтому при постоянном ускорении зависимость скорости от времени получается линейной.

Перенесём множители в определении ускорения: v − v₀ = at, откуда v = v₀ + at. Здесь v₀ — скорость в начале отсчёта времени, а at показывает её изменение за время t. Формула работает и при отрицательных проекциях: знак определяет, куда направлена скорость относительно выбранной оси. Если t = 0, из неё получается начальная скорость v₀.

Координата за время t меняется на величину перемещения. При постоянном ускорении скорость нарастает равномерно, поэтому средняя скорость за этот промежуток равна (v₀ + v)/2. Умножив её на время и подставив v = v₀ + at, получим Δx = v₀t + at²/2. Так как x = x₀ + Δx, выходит уравнение x = x₀ + v₀t + at²/2; начальная координата задаёт положение в начале, а остальные слагаемые — последующее смещение.

Знак ускорения определяется направлением положительной оси, а не самим фактом разгона или торможения. Если скорость и ускорение направлены одинаково, модуль скорости растёт; если противоположно — уменьшается. Например, при движении вдоль положительной оси тормозящее ускорение отрицательно, но при движении в обратную сторону тормозящая проекция ускорения может быть положительной. Поэтому перед подстановкой нужно выбрать ось и определить направления величин.

На графике скорости v(t) постоянное ускорение изображается прямой: за одинаковое время скорость меняется одинаково. Наклон этой прямой показывает, насколько быстро меняется скорость, а её пересечение с осью v задаёт v₀. График координаты x(t) — парабола, поскольку в формуле координаты есть слагаемое с t². Направление ветвей зависит от знака ускорения.

Формулы и характеристики прямолинейного равноускоренного движения

Сначала определите, что требуется найти, и выберите формулу, в которой эта величина связана с известными данными. Если время неизвестно, удобно использовать связь v² − v₀² = 2aΔx. Следите, чтобы подставлялись проекции величин и согласованные единицы.

Разбор задач

Задача 1. Автомобиль трогается с места и движется с ускорением 2 м/с². Найти скорость через 5 с. Слова «трогается с места» означают, что начальная скорость v₀ равна нулю. Нужна скорость, поэтому выбираем формулу v = v₀ + at.

1. Записываем данные: v₀ = 0, a = 2 м/с², t = 5 с. Величины уже выражены в единицах СИ.
2. Подставляем значения: v = 0 + 2 · 5 = 10 м/с. Умножение ускорения на время даёт изменение скорости.
3. Проверяем размерность: (м/с²) · с = м/с. Значит, вычисление согласовано с единицами скорости.

Ответ: скорость автомобиля через 5 с равна 10 м/с.

Задача 2. Тело движется со скоростью 3 м/с и ускорением 1,5 м/с². Найти перемещение и координату через 4 с. Поскольку начальная координата не задана числом, обозначим её x₀. Для перемещения используем Δx = v₀t + at²/2, а для координаты прибавим это перемещение к x₀.

1. Записываем данные: v₀ = 3 м/с, a = 1,5 м/с², t = 4 с. Считаем, что скорость и ускорение направлены вдоль положительной оси.
2. Находим перемещение: Δx = 3 · 4 + 1,5 · 4²/2 = 12 + 12 = 24 м. Это изменение положения тела, а не его координата.
3. Определяем координату: x = x₀ + Δx = x₀ + 24 м. Если начало координат выбрано в начальном положении тела, x₀ = 0 и x = 24 м.

Ответ: перемещение равно 24 м, координата — x₀ + 24 м (при x₀ = 0 координата равна 24 м).

Задача 3. Поезд двигался со скоростью 20 м/с и равномерно тормозит, останавливаясь за 10 с. Найти ускорение и тормозной путь. Выберем ось вдоль начального движения: тогда v₀ = 20 м/с, конечная скорость v = 0, а тормозящее ускорение должно иметь отрицательную проекцию. Для пути удобно сначала найти ускорение, затем применить формулу без времени.

1. Находим ускорение по формуле v = v₀ + at: a = (v − v₀)/t = (0 − 20)/10 = −2 м/с². Отрицательный знак показывает направление против выбранной оси.
2. Используем v² − v₀² = 2aΔx: Δx = (0² − 20²)/(2 · (−2)) = 100 м. Путь положителен, поскольку поезд всё время движется в выбранном положительном направлении до остановки.
3. Проверяем смысл результата: ускорение направлено против скорости, а значит, поезд тормозит. Для проверки пути можно также вычислить среднюю скорость 10 м/с и умножить её на 10 с.

Ответ: ускорение равно −2 м/с², тормозной путь — 100 м.

Типичные ошибки

• Путают ускорение со скоростью. Ускорение показывает изменение скорости за время, а не само движение тела. Ошибка возникает из-за того, что обе величины описывают движение и связаны формулой. Проверка: у скорости единица м/с, у ускорения — м/с².
• Теряют множитель 1/2 в формуле координаты. При таком упрощении не учитывают, что скорость не сразу равна конечной, а постепенно изменяется. Проверяйте вывод через среднюю скорость: Δx = (v₀ + v)t/2, откуда и появляется at²/2.
• Считают ускорение отрицательным при любом торможении. Знак зависит от направления выбранной оси, поэтому при движении в обратную сторону тормозящее ускорение может оказаться положительным. Перед вычислениями нарисуйте ось и отметьте направления скорости и ускорения.
• Подставляют несогласованные единицы, например часы, километры и километры в час. В результате формулы дают неверные числа или размерности. Переведите величины в СИ: часы — в секунды, километры — в метры, км/ч — в м/с, разделив на 3,6.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны координатный метод, понятия перемещения и скорости, а также умение работать с векторами и единицами СИ. Формулы равноускоренного движения применяются при описании свободного падения и транспорта; они также служат основой для изучения движения по окружности и задач динамики. При изучении законов Ньютона ускорение связывают с действием сил, а графики помогают разбирать характер движения и проверять расчёты.

Что запомнить

• При прямолинейном равноускоренном движении ускорение постоянно.
• Скорость изменяется по закону v = v₀ + at.
• Координата изменяется по закону x = x₀ + v₀t + at²/2.
• Перемещение — это разность конечной и начальной координат: Δx = x − x₀.
• Знак ускорения определяется выбором положительного направления оси.
• График скорости — прямая, а график координаты — парабола.
• При нулевом ускорении равноускоренное движение переходит в равномерное.