§ 4. Мгновенная и средняя скорость

Определения и обозначения

Средняя скорость на участке движения — отношение изменения координаты к промежутку времени: vср = Δx/Δt, где Δx — изменение координаты, а Δt — длительность интервала. Она показывает, на сколько в среднем менялась координата за единицу времени. Эта величина нужна, чтобы описать движение на всём выбранном участке одним числом, даже если тело двигалось неравномерно.

Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени. Она характеризует движение не за большой промежуток, а вблизи указанного момента. Это понятие помогает описать, например, показание спидометра сейчас, когда скорость могла отличаться от средней за всю поездку.

Перемещение — изменение координаты тела за выбранный промежуток времени: Δx = x₂ − x₁. Оно показывает, насколько и в какую сторону изменилась координата, поэтому может быть положительным, отрицательным или нулевым. Пройденный путь — длина траектории; он не учитывает направление и не заменяет перемещение при вычислении средней скорости по координате.

Как это устроено

Чтобы найти среднюю скорость, нужны координаты тела в начале и в конце участка и время между этими событиями. Сначала вычисляют Δx = x₂ − x₁ и Δt = t₂ − t₁, затем делят первое значение на второе. Такой расчёт учитывает только начальное и конечное положения, потому что вопрос состоит в том, насколько изменилась координата за весь интервал.

При неравномерном движении тело за разные промежутки времени может проходить разные перемещения. Поэтому средняя скорость на одном участке зависит от его границ и может отличаться от средней на другом участке. Одно среднее значение сглаживает изменения и не сообщает, как именно тело двигалось внутри интервала.

Чтобы определить скорость около конкретного момента, рассматривают всё более короткие промежутки времени вокруг него. Средняя скорость на каждом таком интервале становится всё ближе к мгновенной; в математике это выражают пределом при Δt, стремящемся к нулю. Именно так можно перейти от описания движения за интервал к его характеристике в один момент.

На графике координаты x от времени t средняя скорость соответствует наклону секущей — прямой, соединяющей две точки графика. Её наклон равен отношению изменения координаты к изменению времени между этими точками. Если уменьшать интервал около выбранной точки, секущая приближается к касательной, а её наклон показывает мгновенную скорость.

Знак скорости зависит от того, как меняется координата относительно выбранного направления оси. При движении в сторону возрастания координаты Δx положительно, поэтому скорость положительна; при движении в сторону убывания координаты она отрицательна. Модуль скорости показывает, насколько быстро меняется координата, а знак сохраняет информацию о направлении.

Сравнение средней и мгновенной скорости

Сначала определите, спрашивают ли о движении за интервал или в конкретный момент: это подскажет, какой столбец использовать. Затем проверьте, какие данные есть — координаты и время либо график. В СИ скорость выражают в метрах в секунду; при необходимости км/ч переводят в м/с.

Разбор задач

Задача 1. Тело переместилось из координаты 2 м в координату 14 м за 4 с. Найдём среднюю скорость. Поскольку тело не сообщило о промежуточном движении, для средней скорости достаточно начальной и конечной координат.

1. Вычислим изменение координаты: Δx = 14 м − 2 м = 12 м. Оно положительно, значит координата увеличилась.
2. Разделим изменение координаты на время: vср = 12 м / 4 с = 3 м/с. Единица получается из метров, делённых на секунды.

Ответ: средняя скорость равна 3 м/с. Положительный знак показывает движение в сторону возрастания координаты. Это значение относится ко всему четырёхсекундному интервалу.

Задача 2. Координата тела меняется по закону x = 3 + 2t. Найдём среднюю скорость от 1 с до 5 с и мгновенную скорость. Координата растёт линейно, поэтому за равные промежутки времени приращения одинаковы.

1. Подставим границы: x(1) = 3 + 2 · 1 = 5 м, x(5) = 3 + 2 · 5 = 13 м. Изменение координаты равно 13 м − 5 м = 8 м.
2. Время движения на выбранном участке: Δt = 5 с − 1 с = 4 с. Средняя скорость vср = 8 м / 4 с = 2 м/с.
3. Координата увеличивается на 2 м каждую секунду, поэтому мгновенная скорость постоянна и равна 2 м/с. При равномерном движении она совпадает со средней на любом интервале.

Ответ: средняя скорость за интервал равна 2 м/с, мгновенная скорость также равна 2 м/с. Совпадение связано с постоянной скоростью. На графике x(t) это прямая с одинаковым наклоном в каждой точке.

Задача 3. Координата тела меняется по закону x = t². Найдём среднюю скорость за промежуток от 2 с до 3 с и оценим мгновенную скорость при t = 2 с. Здесь координата растёт нелинейно, поэтому средняя скорость на конечном интервале не обязана совпадать с мгновенной.

1. Найдём координаты на границах: x(2) = 2² = 4 м, x(3) = 3² = 9 м. Значит, Δx = 9 м − 4 м = 5 м, а Δt = 1 с.
2. Средняя скорость равна vср = 5 м / 1 с = 5 м/с. Это наклон секущей между точками графика при t = 2 с и t = 3 с.
3. Для оценки скорости при t = 2 с уменьшим интервал около этого момента. При интервале от 2 с до 2,1 с средняя скорость равна (2,1² − 2²)/0,1 = 4,1 м/с; при дальнейшем уменьшении интервала значение приближается к 4 м/с.

Ответ: средняя скорость на интервале от 2 с до 3 с равна 5 м/с, мгновенная при t = 2 с — примерно 4 м/с. Средняя больше, потому что на участке координата растёт, а скорость увеличивается. Указанная оценка мгновенной скорости получается по средним скоростям на коротких интервалах около 2 с.

Типичные ошибки

Первая ошибка — делить пройденный путь на время, когда нужна средняя скорость по координате. Путь всегда неотрицателен, а перемещение учитывает направление; эти величины особенно различаются, если тело разворачивается. Проверьте, спрашивает ли задача изменение координаты: тогда используйте Δx = x₂ − x₁, а не длину всего маршрута.

Вторая ошибка — считать, что средняя скорость обязательно совпадает со скоростью в какой-то момент. При неравномерном движении среднее значение описывает весь интервал и не обязано быть мгновенной скоростью внутри него. Проверка: если закон движения не задаёт постоянную скорость, не делайте вывод о совпадении без дополнительных оснований.

Третья ошибка — записывать только модуль скорости и терять её знак. Так делают, когда смешивают скорость как векторную характеристику с тем, насколько быстро движется тело. Сверьте знак Δx: положительное приращение даёт положительную скорость, отрицательное — отрицательную.

Четвёртая ошибка — называть мгновенной скорость на коротком, но конечном интервале. Она может быть близкой к мгновенной, но по определению получается в пределе при неограниченном уменьшении Δt. Чтобы проверить рассуждение, уточните, найдено ли отношение Δx/Δt на конкретном интервале или рассмотрено его предельное значение.

Связь с другими темами

Для изучения скорости нужны координата, перемещение, промежуток времени и график зависимости координаты от времени. Координата задаёт положение тела на оси, перемещение связывает начальное и конечное положения, а время позволяет сравнивать изменение положения. График помогает увидеть, как координата меняется на разных участках.

Мгновенная скорость станет основой для изучения ускорения и кинематики неравномерного движения. Ускорение описывает изменение скорости со временем, поэтому для его понимания важно уметь различать скорость в момент и среднее значение за интервал. Эти понятия позволяют последовательно описывать, как меняется движение тела.

Что запомнить

• Средняя скорость равна изменению координаты, делённому на промежуток времени.
• Средняя скорость относится к выбранному интервалу движения.
• Мгновенная скорость характеризует движение в определённый момент.
• Мгновенную скорость связывают с пределом средней скорости при уменьшении интервала времени.
• На графике координаты от времени среднюю скорость задаёт наклон секущей.
• На том же графике мгновенную скорость задаёт наклон касательной.
• Знак скорости указывает направление изменения координаты.