1. Относительное движение брошенных тел

Определения и обозначения

Система отсчёта — тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы, относительно которых описывают движение. Например, вагон может быть телом отсчёта, а оси координат и часы задают способ измерять положение и время. Без выбранной системы нельзя однозначно указать координату или скорость тела.

Относительное движение — движение тела, рассматриваемое относительно выбранной системы отсчёта. Положение тела записывают координатами, которые измеряют именно относительно выбранного тела отсчёта. Это понятие нужно, чтобы сравнивать описания одного движения разными наблюдателями.

Относительная скорость — скорость тела относительно наблюдателя или другой системы отсчёта. Её значение показывает, как быстро и в каком направлении меняется положение тела для этого наблюдателя. Поэтому у одного тела могут быть разные скорости относительно вагона и земли.

Закон сложения скоростей связывает скорость тела в разных системах отсчёта. Для вагона, который движется равномерно, скорость тела относительно земли равна векторной сумме скорости тела относительно вагона и скорости вагона относительно земли. Закон помогает перейти от измерений одного наблюдателя к описанию другого.

Как это устроено

Представим, что пассажир подбрасывает мяч вертикально вверх в равномерно едущем вагоне. Пассажир и вагон движутся относительно земли, а наблюдатель на платформе — нет. Поэтому они по-разному измеряют горизонтальное положение мяча: для пассажира оно почти не меняется, а для наблюдателя на земле меняется вместе с вагоном. Различие в траекториях возникает не из-за изменения самого движения, а из-за разных систем координат.

Пусть ось x направлена вдоль движения вагона, а его скорость равна V; ось y направлена вертикально вверх. Если x′ и y′ — координаты тела в системе вагона, то в системе земли x = x′ + Vt, y = y′, когда в начальный момент начала координат совпадают. Первая формула показывает, что за время t вагон проходит расстояние Vt, которое добавляется к координате тела внутри вагона. Вертикальные координаты равны, потому что вагон движется только горизонтально.

За короткий промежуток времени тело сохраняет горизонтальную скорость, с которой двигалось до броска. Поэтому наблюдатель на земле учитывает и собственную скорость мяча относительно вагона, и скорость самого вагона. В векторной форме это записывают так: v тела относительно земли = v тела относительно вагона + v вагона относительно земли. Направления важны: например, при броске назад скорость мяча относительно вагона частично уменьшает его скорость относительно земли.

При вертикальном броске пассажир видит, что мяч поднимается и опускается по одной вертикальной линии: его горизонтальная координата относительно вагона постоянна. Для наблюдателя на земле мяч одновременно движется вперёд со скоростью вагона и вверх-вниз под действием тяжести. Горизонтальное движение равномерное, вертикальное — равноускоренное, поэтому их сочетание даёт параболическую траекторию. Это объясняет, почему форма пути зависит от наблюдателя.

Горизонтальное движение не влияет на подъём и падение мяча: ускорение свободного падения направлено вертикально и в обеих системах одинаково. Поэтому при одинаковой начальной вертикальной скорости время подъёма, время полёта до прежней высоты и максимальная высота совпадают. А горизонтальное перемещение зависит от системы отсчёта: пассажир измеряет смещение относительно вагона, а наблюдатель с земли — относительно поверхности. Время полёта определяет вертикальное движение, а не скорость вагона.

Описание движения брошенного тела в разных системах отсчёта

Сначала выберите наблюдателя, относительно которого нужно найти координату, скорость или траекторию. Затем используйте соответствующий столбец, а для перехода к другому наблюдателю — связь в последнем столбце. В таблице V обозначает скорость вагона, uᵧ — начальную вертикальную скорость тела, g — ускорение свободного падения.

Разбор задач

Вертикальный бросок: начальная скорость

Вагон движется равномерно со скоростью 12 м/с. Из него вертикально вверх бросили мяч со скоростью 8 м/с относительно вагона. Найдём начальную скорость мяча относительно земли. Скорость броска направлена вверх, а скорость вагона — горизонтально вперёд, поэтому векторы взаимно перпендикулярны.

1. Запишем закон сложения скоростей: v мяча относительно земли = v мяча относительно вагона + v вагона относительно земли.
2. Выберем горизонтальное направление за ось x, вертикальное — за ось y. Тогда компоненты скорости мяча относительно земли равны 12 м/с по x и 8 м/с по y.
3. Найдём модуль результирующей скорости: v = √(12² + 8²) = √208 ≈ 14,4 м/с.
4. Направление можно уточнить по углу к горизонту: tg α = 8/12, откуда α ≈ 34°.

Ответ: начальная скорость относительно земли примерно 14,4 м/с, под углом около 34° к горизонту вперёд. Складывать модули 12 и 8 нельзя, потому что скорости направлены не одинаково. Векторный расчёт сразу показывает и значение скорости, и её направление.

Время полёта, высота и горизонтальное смещение

Мяч бросили вертикально вверх из движущегося вагона со скоростью 10 м/с относительно вагона; скорость вагона — 15 м/с. Найдём время до возвращения на высоту броска, максимальную высоту и перемещение мяча относительно земли. Сопротивлением воздуха пренебрежём, а для расчёта возьмём g = 10 м/с².

1. Вертикальная начальная скорость равна 10 м/с, поэтому время подъёма tпод = u/g = 10/10 = 1 с. Полное время полёта до исходной высоты t = 2tпод = 2 с.
2. Максимальная высота над местом броска равна h = u²/(2g) = 10²/(2·10) = 5 м.
3. По горизонтали мяч перемещается вместе с вагоном: sₓ = Vt = 15·2 = 30 м. В системе вагона его горизонтальное перемещение равно нулю.

Ответ: время полёта — 2 с, максимальная высота — 5 м, горизонтальное перемещение относительно земли — 30 м вперёд. Время и высоту определили только по вертикальному движению. Скорость вагона нужна для расчёта горизонтального смещения относительно земли.

Бросок под углом: траектория и дальность

Вагон движется со скоростью 20 м/с, тело бросили относительно вагона со скоростью 10 м/с под углом α к горизонту. Считаем, что бросок направлен вперёд и тело приземляется на высоте броска; сопротивлением воздуха пренебрегаем. Численную дальность нельзя определить без заданного угла α и значения g, поэтому найдём уравнения и выражения для дальности.

1. В системе вагона начальные компоненты скорости равны uₓ′ = 10 cos α и uᵧ = 10 sin α. Уравнения движения: x′ = 10t cos α, y = 10t sin α − gt²/2.
2. Исключим время, подставив t = x′/(10 cos α). Получим траекторию относительно вагона: y = x′ tg α − gx′²/(200 cos² α).
3. В системе земли горизонтальная начальная скорость равна 20 + 10 cos α, вертикальная — 10 sin α. Поэтому x = (20 + 10 cos α)t, y = 10t sin α − gt²/2.
4. Подстановка t = x/(20 + 10 cos α) даёт траекторию относительно земли: y = x·10 sin α/(20 + 10 cos α) − gx²/[2(20 + 10 cos α)²].
5. Время полёта t = 20 sin α/g. Дальности равны R′ = 100 sin 2α/g относительно вагона и R = (20 + 10 cos α)·20 sin α/g относительно земли.

Ответ: уравнения траектории и дальности приведены для произвольного угла α. Дальность с земли больше или меньше вагонной в зависимости от направления горизонтального движения и параметров броска; в данном случае вагон едет вперёд, поэтому его скорость добавляется к скорости тела. При заданных α и g выражения позволяют получить численные значения.

Типичные ошибки

Складывать скорости как числа. Так поступают, когда забывают, что скорость имеет направление: например, вертикальная и горизонтальная скорости не складываются обычным арифметическим сложением. Сначала изобразите векторы и сложите их компоненты, затем найдите модуль результата. Проверьте, совпадают ли направления: только при движении вдоль одной прямой можно складывать или вычитать модули с учётом знаков.

Считать, что мяч упадёт позади вагона. Такая ошибка возникает, если учитывать вертикальный бросок, но забыть горизонтальную скорость, которую мяч имел вместе с вагоном до броска. При равномерном движении вагона мяч сохраняет эту составляющую скорости, поэтому его горизонтальное положение относительно вагона не меняется. Проверка: сравните горизонтальные скорости мяча и вагона — они одинаковы.

Приписывать всем наблюдателям одну траекторию. Путают сам путь тела с линией, которую получают по координатам конкретной системы отсчёта. Пассажир видит вертикальную линию, а наблюдатель с земли — параболу, потому что по-разному учитывается горизонтальное перемещение. Чтобы проверить ответ, запишите отдельно координаты x и x′ и свяжите их формулой x = x′ + Vt.

Менять время полёта при смене системы отсчёта. Это происходит, когда горизонтальную скорость вагона ошибочно включают в расчёт вертикального движения. При равномерном горизонтальном движении она не меняет вертикальную составляющую скорости и ускорение свободного падения. Проверьте время по уравнению y = y₀ + uᵧt − gt²/2: скорость вагона в нём отсутствует.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны знания о равномерном и равноускоренном движении, сложении векторов и движении тела, брошенного под углом к горизонту. Относительное движение подготавливает изучение инерциальных систем отсчёта, преобразований Галилея и закона сложения скоростей. Те же идеи используют, когда рассчитывают движение транспорта и снарядов, падение предметов с движущегося объекта или направление дождя при ветре. Во всех случаях сначала выбирают наблюдателя, а затем связывают скорости и координаты.

Что запомнить

• Движение всегда описывают относительно выбранной системы отсчёта.
• Траектория и скорость тела могут различаться для разных наблюдателей.
• Скорость тела относительно земли равна векторной сумме скорости тела относительно вагона и скорости вагона.
• При равномерном движении вагона пассажир и наблюдатель на земле используют инерциальные системы отсчёта.
• При вертикальном броске из вагона пассажир видит прямолинейную траекторию, а наблюдатель на земле — параболическую.
• Время полёта и вертикальная составляющая движения не зависят от равномерного горизонтального движения системы отсчёта.