"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Тело, брошенное вертикально вверх, поднимается, останавливается на мгновение в наивысшей точке, а затем падает. Если сопротивлением воздуха пренебречь, на всём пути действует ускорение свободного падения, направленное вниз. Выбрав ось вверх, можно описать движение формулами v = v₀ − gt и y = y₀ + v₀t − gt²/2. Из них находят время подъёма, максимальную высоту и скорость тела в любой момент.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вертикально вверх брошенное тело — тело, которому придают начальную скорость, направленную вертикально вверх; после броска на него действует сила тяжести. Например, так движется подброшенный мяч, если не учитывать сопротивление воздуха. Эта модель позволяет отдельно изучить влияние силы тяжести, не отвлекаясь на другие силы.
Начальная скорость — скорость тела в момент броска; при выборе направления вверх за положительное она имеет положительный знак и обозначается v₀. Она определяет, как быстро тело начинает подниматься. Её значение нужно знать, чтобы рассчитать скорость и положение тела в последующие моменты.
Ускорение свободного падения — ускорение тела под действием силы тяжести; у поверхности Земли его модуль обозначают g, а направление — вниз. В расчётах часто используют g ≈ 9,8 м/с² или округляют до 10 м/с². Оно показывает, насколько меняется скорость за секунду, и не меняет направления вместе с движением тела.
Время подъёма — промежуток от броска до достижения наивысшей точки траектории. В этой точке тело на мгновение перестаёт двигаться вверх, прежде чем начать падать. Время подъёма помогает определить максимальную высоту и описать обе части движения.
После броска тело движется по инерции, но на него продолжает действовать сила тяжести. Если сопротивлением воздуха пренебречь, других сил нет, поэтому по второму закону Ньютона ускорение постоянно и направлено вниз. Оно не зависит от того, поднимается тело или падает, и вблизи поверхности Земли равно по модулю g.
Для удобства выберем вертикальную ось так, чтобы её положительное направление было вверх. Тогда скорость броска направлена вдоль оси и записывается как +v₀, а ускорение силы тяжести направлено против оси и равно a = −g. Формулы равноускоренного движения дают y = y₀ + v₀t − gt²/2 и v = v₀ − gt. Если за начало отсчёта координаты принять точку броска, то y₀ = 0, а координата y одновременно показывает перемещение вверх или вниз от этой точки.
На подъёме скорость направлена вверх, но каждую секунду ускорение −g уменьшает её значение. Когда скорость становится нулевой, тело достигает наивысшей точки и меняет направление движения. После этого скорость отрицательна, потому что направлена вниз, а ускорение остаётся отрицательным; поэтому модуль скорости при падении увеличивается.
В наивысшей точке можно применить уравнение скорости и положить v = 0: 0 = v₀ − gtₚ. Отсюда время подъёма tₚ = v₀/g. Подстановка этого времени в формулу перемещения даёт максимальную высоту h = v₀tₚ − gtₚ²/2 = v₀²/(2g). Высота h отсчитывается от точки броска, а не обязательно от поверхности земли.
Если тело возвращается на исходную высоту, то при отсутствии сопротивления оно проходит вниз ту же разность высот, которую набрало при подъёме. Уравнение движения показывает, что в этот момент t = 2v₀/g и v = −v₀. Знак минус указывает направление вниз: модуль скорости совпадает с начальным, но сама скорость противоположна ему по направлению.
| Величина | Уравнение при направлении оси вверх | В момент броска | В наивысшей точке | При возвращении на исходную высоту |
|---|---|---|---|---|
| Координата y | y = y₀ + v₀t − gt²/2 | y₀ | y₀ + v₀²/(2g) | y₀ |
| Скорость v | v = v₀ − gt | +v₀ | 0 | −v₀ |
| Ускорение a | a = −g | −g | −g | −g |
| Время от начала движения t | t — время после броска | 0 | v₀/g | 2v₀/g |
| Высота относительно точки броска | h = v₀t − gt²/2 | 0 | v₀²/(2g) | 0 |
В таблице координата y зависит от выбора начала отсчёта y₀, а высота h всегда отсчитывается от точки броска. Знак скорости показывает направление: положительный — вверх, отрицательный — вниз. Пользуйтесь одним выбором оси во всех строках и формулах, чтобы не смешать координату, высоту и перемещение.
Выберем направление вверх за положительное и запишем данные: v₀ = 20 м/с, g = 10 м/с². В наивысшей точке скорость равна нулю, поэтому используем v = v₀ − gt и полагаем v = 0.
Решим уравнение 0 = 20 − 10t: получаем tₚ = 2 с. Это время от броска до момента, когда мяч перестаёт подниматься.
Найдём высоту относительно точки броска: h = v₀²/(2g) = 20²/(2 · 10) = 400/20 = 20 м. Проверка по формуле перемещения даёт h = 20 · 2 − 10 · 2²/2 = 20 м.
Ответ: время подъёма — 2 с, максимальная высота над точкой броска — 20 м.
Направим ось вверх и используем v₀ = 30 м/с, g = 10 м/с², t = 2 с. Сохраняем знаки выбранной оси: начальная скорость положительна, а ускорение равно −g.
Подставим время в уравнение скорости: v = 30 − 10 · 2 = 10 м/с. Положительный результат означает, что через 2 с тело ещё движется вверх.
Перемещение от места броска вычислим по формуле Δy = v₀t − gt²/2. Получаем Δy = 30 · 2 − 10 · 2²/2 = 60 − 20 = 40 м, то есть тело находится на 40 м выше точки старта.
Ответ: скорость равна 10 м/с вверх, перемещение — 40 м вверх.
Выберем ось вверх, а начало координат совместим с землёй. Тогда начальная координата камня y₀ = 25 м, начальная скорость v₀ = 15 м/с, а координата земли равна нулю.
Запишем y = 25 + 15t − 5t² и приравняем координату к нулю. Получим 5t² − 15t − 25 = 0, или t² − 3t − 5 = 0. Так мы учитываем и высоту моста, и движение камня после броска.
По формуле корней получаем t = (3 ± √29)/2. Корень с минусом отрицателен и не подходит, потому что описывал бы момент до броска. Положительный корень равен примерно 4,2 с.
Ответ: камень окажется у земли примерно через 4,2 с после броска.
Считать ускорение направленным вверх во время подъёма — ошибка: сила тяжести всё время направлена вниз, поэтому при оси вверх a = −g на всём пути. Её часто допускают, смешивая направление движения с направлением ускорения. Проверьте себя: ускорение должно указывать в сторону изменения скорости, а при подъёме скорость уменьшается.
Принимать ускорение за ноль в наивысшей точке тоже неверно. Там скорость мгновенно равна нулю, но сила тяжести продолжает действовать; путаница возникает из-за того, что тело на мгновение останавливается. Подставьте точку в уравнение скорости: v = 0, тогда как уравнение ускорения по-прежнему даёт a = −g.
Подстановка высоты над землёй вместо перемещения от места броска приводит к неверному результату, если начало координат выбрано в другой точке. Сначала определите, что именно ищете, и задайте координату начального положения y₀. Проверка проста: для перемещения от броска используйте Δy = y − y₀, а высоту над землёй находите относительно уровня земли.
При возвращении на исходную высоту нельзя считать скорость направленной так же, как при броске. Совпадение модулей может сбить с толку, но направление движения уже вниз; ошибка видна по знаку скорости. Подставьте время возвращения t = 2v₀/g в v = v₀ − gt и получите v = −v₀.
Для этой темы нужны понятия координаты, перемещения, скорости и ускорения, а также уравнения равноускоренного движения. Они позволяют записать движение тела через его начальные условия и время. Тема также опирается на свободное падение и ускорение свободного падения: вертикальный бросок отличается от падения тем, что в начале скорость направлена вверх, хотя ускорение остаётся направленным вниз.
Те же идеи пригодятся при изучении движения тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту. В таких задачах движение обычно раскладывают на вертикальную и горизонтальную составляющие. Вертикальная составляющая подчиняется уравнениям, изученным здесь.
Почему тело замедляется, если сила тяжести действует на него всё время?
Во время подъёма скорость направлена вверх, а ускорение силы тяжести — вниз. Поэтому скорость уменьшается: за равные промежутки времени тело теряет одинаковую величину скорости. После остановки в верхней точке скорость направлена вниз и начинает возрастать по модулю.
Есть ли у тела ускорение в наивысшей точке?
Да. В наивысшей точке скорость мгновенно равна нулю, но сила тяжести никуда не исчезает. Поэтому ускорение и там направлено вниз и равно −g, если ось направлена вверх.
Как выбрать направление оси, чтобы не ошибиться со знаками?
Удобно направить ось вертикально вверх и считать это направление положительным. Тогда начальная скорость положительна, а ускорение свободного падения равно −g. Главное — сохранять выбранное направление во всех формулах и при записи координат.
Как найти максимальную высоту, если известно время подъёма?
Подставьте время подъёма tₚ в формулу перемещения h = v₀t − gt²/2. Поскольку tₚ = v₀/g, можно также получить h = gtₚ²/2. Высота здесь отсчитывается от точки броска.
Почему скорость при возвращении к месту броска не равна начальной?
Если учитывать направление, скорости не равны: при броске тело движется вверх, а при возвращении — вниз. При отсутствии сопротивления воздуха их модули одинаковы. Поэтому при оси вверх конечная скорость равна −v₀.
2. Движение тела, брошенного вертикально вверх
