1. Свободное падение тела

Определения и обозначения

Свободное падение — движение тела только под действием силы тяжести, если сопротивлением воздуха можно пренебречь. Это модель, которая позволяет изучать падение и вертикальные броски с помощью простых формул. В реальности воздух может влиять на движение, поэтому модель применяют тогда, когда его действие мало.

Ускорение свободного падения — ускорение тела при свободном падении; его обозначают g. Оно направлено вертикально вниз, а у поверхности Земли его модуль примерно равен 9,8 м/с². Эта величина нужна, чтобы рассчитывать изменение скорости и положения тела.

Невесомость — состояние тела, которое свободно движется под действием силы тяжести и не действует на опору или подвес. Это не означает отсутствия силы тяжести: именно она продолжает разгонять тело. Понятие помогает объяснить состояние космонавтов и предметов в свободно падающем лифте.

Как это устроено

Около поверхности Земли сила тяжести почти не меняется, пока тело перемещается на сравнительно небольшое расстояние. По второму закону Ньютона ускорение равно силе, делённой на массу, поэтому постоянная сила даёт постоянное ускорение. Так возникает равноускоренное движение, если сопротивление воздуха несущественно.

Ускорение направлено вниз, потому что его направление совпадает с направлением силы тяжести. Это верно и тогда, когда тело движется вверх: сила тяжести не меняет направление вслед за скоростью. Поэтому при подъёме скорость уменьшается, а при движении вниз — увеличивается.

Формулы движения используют проекции величин на координатную ось, поэтому направление оси определяет знаки. Если ось направлена вверх, проекция ускорения равна −g; если вниз — +g. Знак скорости тоже зависит от направления движения относительно выбранной оси, а модуль g остаётся положительным.

Из общих формул равноускоренного движения v = v₀ + at и y = y₀ + v₀t + at²/2 подставляют проекцию ускорения свободного падения. Перемещение за время t равно s = v₀t + at²/2, а связь скорости и перемещения задаёт формула v² − v₀² = 2as. Так получают формулы свободного падения для любого начального движения, не забывая подставлять знаки проекций.

Если тело отпустить без начальной скорости, то за время t оно проходит путь h = gt²/2, а скорость по модулю становится v = gt. За одинаковые промежутки времени скорость каждый раз возрастает на одну и ту же величину, поэтому тело проходит всё большие отрезки. Из формул также следует v² = 2gh: чем больше высота падения, тем больше конечная скорость.

Тело отпущено с высоты 20 м; сопротивлением воздуха пренебрегают, g = 9,8 м/с². График показывает, как высота над землёй уменьшается со временем при падении без начальной скорости.

Формулы свободного падения при разных направлениях координатной оси

Сначала выберите ось так, чтобы было удобно описывать движение, затем запишите проекции начальных величин и ускорения. Если тело падает из покоя, направьте ось вниз: тогда проекции перемещения и ускорения положительны. Не подставляйте высоту вместо координаты, пока не установили, откуда отсчитывается координата.

Разбор задач

Камень падает с высоты

Камень отпустили с высоты 20 м без начальной скорости. Найдём время падения и скорость перед ударом при g = 10 м/с². Сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому применима модель свободного падения.

1. Направим ось вниз от точки отпускания. Тогда начальная скорость равна нулю, ускорение равно +g, а перемещение до земли — 20 м.
2. Используем s = gt²/2. Получаем 20 = 10t²/2, откуда t² = 4 и t = 2 с; отрицательное значение времени физического смысла не имеет.
3. Для конечной скорости применим v = v₀ + gt. Подстановка даёт v = 0 + 10 · 2 = 20 м/с, направление скорости — вниз.

Ответ: время падения 2 с, скорость перед ударом 20 м/с вниз. Проверка по формуле v² = 2gh даёт 400 = 2 · 10 · 20, что подтверждает результат.

Мяч брошен вертикально вверх

Мячу сообщили скорость 20 м/с вверх; требуется найти время подъёма и максимальную высоту при g = 10 м/с². Выберем ось вверх и начнём отсчёт координаты от точки броска. В верхней точке скорость на мгновение равна нулю.

1. Запишем скорость с учётом направления ускорения: v = v₀ − gt. В верхней точке 0 = 20 − 10t, поэтому время подъёма равно 2 с.
2. Найдём перемещение за это время: s = v₀t − gt²/2. Получаем s = 20 · 2 − 10 · 2²/2 = 40 − 20 = 20 м.

Ответ: мяч поднимается 2 с на 20 м относительно точки броска. Скорость в верхней точке равна нулю, но ускорение там не исчезает и по-прежнему направлено вниз.

Мяч брошен вверх с башни

Мяч бросили вверх с башни высотой 45 м со скоростью 10 м/с. Нужно найти момент прохождения уровня земли и скорость при ударе; g = 10 м/с². Направим ось вверх, а начало координат поместим на земле: тогда y₀ = 45 м.

1. Запишем координату: y = 45 + 10t − 5t². На уровне земли y = 0, поэтому 5t² − 10t − 45 = 0, или t² − 2t − 9 = 0.
2. Корни уравнения: t = 1 ± √10. Отрицательный корень не подходит, поскольку описывает момент до броска; физическое время t = 1 + √10 ≈ 4,16 с.
3. Скорость найдём из v = 10 − 10t. При найденном времени v ≈ −31,6 м/с; минус показывает, что мяч движется вниз.

Ответ: мяч достигает земли примерно через 4,16 с, его скорость перед ударом около 31,6 м/с вниз. Координата земли равна нулю, но пройденный путь не равен координате, поэтому важно было явно задать начало отсчёта.

Типичные ошибки

Считать свободным падением только отпускание тела без начальной скорости — ошибка: начальная скорость может быть ненулевой, например при броске вверх. Такую путаницу допускают, потому что в простейших задачах тело начинают рассматривать из состояния покоя. Проверьте себя: в формуле скорости сохраните член v₀, если он дан в условии.

Записывать ускорение просто как g без учёта направления оси опасно: знак проекции может оказаться неверным. Ошибка возникает, когда модуль величины смешивают с её направлением. Перед расчётом нарисуйте ось и укажите, куда направлено ускорение относительно неё.

Использовать v = gt при ненулевой начальной скорости нельзя: эта запись подходит для движения из покоя, если скорость и ускорение направлены одинаково. Формула общего вида — v = v₀ + at, где знаки величин являются проекциями. Сверьте начальное условие: при t = 0 формула обязана давать v = v₀.

Высота, координата и пройденный путь — не одно и то же: координата зависит от начала отсчёта, путь не бывает отрицательным, а высоту обычно отсчитывают от выбранной поверхности. Их смешивают, когда сразу подставляют числа без рисунка или схемы. Проверьте, что единицы согласованы: метры, секунды и м/с², а результат имеет требуемую размерность.

Связь с другими темами

Чтобы описывать свободное падение, нужны векторные представления о движении, скорость, ускорение и формулы равноускоренного движения. Причину ускорения раскрывают понятия силы тяжести и второй закон Ньютона: сила сообщает телу ускорение. Поэтому тема соединяет кинематику, описывающую движение, с динамикой, объясняющей его причины.

Те же идеи применяются при изучении тела, брошенного под углом к горизонту: его вертикальная составляющая движения подчиняется формулам свободного падения. Представление о действии гравитации также понадобится при знакомстве с движением спутников. Свободное движение под действием тяжести помогает понять и невесомость.

Что запомнить

• Свободное падение происходит под действием только силы тяжести.
• Около поверхности Земли свободное падение является равноускоренным движением.
• Ускорение свободного падения направлено вертикально вниз.
• Модуль g у поверхности Земли примерно равен 9,8 м/с².
• Знак ускорения в формулах зависит от выбранного направления координатной оси.
• При падении без начальной скорости путь пропорционален квадрату времени, а скорость — времени.
• При свободном падении возникает состояние невесомости.