§ 7. Свободное падение и движение тела, брошенного вертикально вверх

Определения и обозначения

Свободное падение — движение тела только под действием силы тяжести. Сопротивлением воздуха пренебрегают, когда его влияние мало по сравнению с действием Земли, чтобы движение можно было описывать простыми формулами. Модель подходит, например, для падения небольшого тяжёлого предмета на умеренной скорости.

Ускорение свободного падения g — ускорение тела при свободном падении. Оно направлено вертикально вниз, к поверхности Земли, а у поверхности Земли его значение примерно равно 9,8 м/с²; в учебных задачах часто используют g = 10 м/с². Величина g показывает, насколько изменяется скорость тела за каждую секунду.

Начальная скорость — скорость тела в момент начала рассматриваемого движения, её обозначают v₀. При броске вверх она направлена вверх, то есть противоположно ускорению свободного падения. Знание v₀ нужно, чтобы определить, как долго тело будет подниматься и какой высоты достигнет.

Как это устроено

При свободном падении скорость меняется потому, что на тело действует постоянная сила тяжести, а значит, сохраняется постоянное ускорение g. Если положительное направление оси выбрано вверх, ускорение направлено противоположно этой оси, поэтому его проекция равна −g. Отсюда следует уравнение скорости v = v₀ − gt: с течением времени скорость уменьшается именно из-за отрицательной проекции ускорения.

При броске вверх начальная скорость положительна, но каждую секунду действие ускорения уменьшает её значение. В наивысшей точке тело на мгновение останавливается, поэтому v = 0, однако это лишь один момент перехода от подъёма к падению. Затем скорость направлена вниз и при выбранной оси становится отрицательной.

Координата тела определяется формулой y = y₀ + v₀t − gt²/2. В ней первое слагаемое задаёт начальное положение, второе описывает перемещение из-за начальной скорости, а третье учитывает действие тяжести. Наличие t² означает, что координата изменяется неравномерно, поэтому график y(t) имеет форму параболы, а не прямой линии.

Если тело отпускают без начальной скорости, то v₀ = 0, и формулы становятся проще: перемещение вниз по модулю равно gt²/2, а скорость по модулю равна gt. Путь растёт пропорционально квадрату времени, потому что тело каждую секунду движется всё быстрее. Поэтому за равные промежутки времени оно проходит всё большие расстояния.

При возвращении на исходную высоту подъём и спуск симметричны относительно момента, когда скорость равна нулю. За время подъёма тело теряет всю начальную скорость, а за такое же время спуска приобретает скорость того же модуля в обратном направлении. Это верно при постоянном ускорении и отсутствии сопротивления воздуха.

Формулы вертикального движения при выборе оси вверх

В таблице знак скорости показывает направление движения относительно выбранной оси: положительный — вверх, отрицательный — вниз. Для свободного падения из покоя подставляют v₀ = 0, а для броска вверх — заданную положительную начальную скорость. Формулы координаты позволяют находить положение тела относительно выбранного нулевого уровня.

Разбор задач

Падение тела с высоты

Условие: тело отпускают без начальной скорости с высоты 45 м. Найдите время падения и скорость перед ударом о землю, сопротивлением воздуха пренебречь. Возьмём g = 10 м/с² и направим ось вверх.

1. Начальная скорость равна нулю, поэтому координата тела задаётся формулой y = y₀ − gt²/2. До земли тело проходит 45 м, значит 45 = 10t²/2.
2. Из уравнения получаем 45 = 5t², откуда t² = 9 и t = 3 с. Отрицательное значение времени не рассматриваем.
3. Скорость перед ударом: v = −gt = −10 · 3 = −30 м/с. Минус показывает, что тело движется вниз.

Ответ: время падения 3 с, скорость перед ударом −30 м/с, её модуль равен 30 м/с.

Бросок мяча вверх

Условие: мяч бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Определите время подъёма и максимальную высоту относительно точки броска. Используем g = 10 м/с².

1. В наивысшей точке скорость равна нулю, поэтому из уравнения v = v₀ − gt получаем 0 = 20 − 10t.
2. Отсюда время подъёма t = 2 с. Для высоты используем перемещение h = v₀t − gt²/2.
3. Подстановка даёт h = 20 · 2 − 10 · 2²/2 = 40 − 20 = 20 м. Значит, за время подъёма мяч поднялся на 20 м относительно точки броска.

Ответ: время подъёма 2 с, максимальная высота 20 м.

Бросок с высоты над землёй

Условие: камень бросили вверх с высоты 15 м над землёй со скоростью 20 м/с. Найдите время до падения на землю и скорость удара. Ось направим вверх, начало координат совместим с землёй, g = 10 м/с².

1. Начальная координата y₀ = 15 м, поэтому y = 15 + 20t − 5t². При ударе о землю y = 0, значит 15 + 20t − 5t² = 0.
2. После деления на 5 получаем t² − 4t − 3 = 0. Положительный корень равен t = 2 + √7 ≈ 4,65 с; второй корень отрицателен и физического смысла не имеет.
3. Скорость удара найдём по формуле v = 20 − 10t. Получаем v = −10√7 ≈ −26,5 м/с, то есть движение происходит вниз.

Ответ: время до удара примерно 4,65 с, скорость −26,5 м/с, модуль скорости 26,5 м/с.

Типичные ошибки

Считать ускорение при движении вверх направленным вверх. Так путают направление скорости с направлением силы тяжести. Проверьте себя: ускорение свободного падения всегда направлено к Земле, независимо от того, куда движется тело.

Подставлять g со знаком, не согласованным с выбором оси. Знак проекции ускорения определяется осью, а не тем, поднимается тело или падает. Сначала нарисуйте ось и укажите направление ускорения, затем запишите a = −g или a = +g.

Считать скорость в наивысшей точке равной нулю на всё время движения. Нулевая скорость бывает только в мгновение перехода от подъёма к падению. Проверьте формулу v = v₀ − gt: сразу после этой точки скорость становится отрицательной.

Путать высоту над землёй с перемещением от точки броска. Высота над землёй — это координата относительно уровня земли, а перемещение от места броска отсчитывается от y₀. Укажите начальную координату в формуле y = y₀ + v₀t − gt²/2.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны координата, перемещение, скорость и ускорение, а также уравнения равноускоренного движения. Без выбора оси и начальной координаты легко ошибиться в знаках и в смысле найденной величины.

Тема продолжает изучение движения с постоянным ускорением и показывает, как общие кинематические формулы работают для силы тяжести. Она связывает описание движения с представлением о действии силы на тело.

Эта модель понадобится при изучении тела, брошенного под углом к горизонту. Кроме того, формулы помогают читать графики координаты и скорости и сопоставлять их с реальным движением.

Что запомнить

• В модели свободного падения на тело действует только сила тяжести.
• Ускорение свободного падения направлено вниз и у поверхности Земли приблизительно равно 9,8 м/с².
• При выборе оси вверх проекция ускорения равна −g.
• В наивысшей точке броска вверх скорость равна нулю, но ускорение не равно нулю.
• Координата при вертикальном движении зависит от времени квадратично.
• При возвращении на исходную высоту модуль скорости равен начальному, если сопротивлением воздуха пренебречь.