"Физика (базовый и углублённый уровни)", Грачёв А.В., Погожев В.А., Салецкий А.М., Боков П.Ю.
Равноускоренное движение по окружности — движение точки по траектории постоянного радиуса, при котором угловая скорость изменяется равномерно. Такой моделью описывают разгон детали механизма, автомобиль на повороте и другие движения, где меняются и скорость, и её направление. Главное — разделить ускорение и силу на тангенциальную составляющую, изменяющую модуль скорости, и нормальную, направленную к центру окружности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равноускоренное движение по окружности — движение с постоянным угловым ускорением, при котором радиус траектории сохраняется, а модуль скорости обычно изменяется. Точка одновременно перемещается по окружности и вращается вокруг её центра. Эта модель нужна, чтобы описывать разгон или торможение вращающихся деталей и движение тела на повороте.
Угловое ускорение — векторная величина, показывающая, как изменяется угловая скорость за единицу времени; его обозначают α. Если α постоянно, угловая скорость меняется на одинаковую величину за равные промежутки времени. Зная α, можно определить, как быстро возрастает или уменьшается скорость вращения.
Тангенциальное ускорение — составляющая ускорения, направленная по касательной к окружности. Она изменяет модуль линейной скорости, то есть отвечает за разгон или торможение точки. Его обозначают aτ и вычисляют через угловое ускорение и радиус.
Нормальное ускорение — составляющая ускорения, направленная к центру окружности. Оно не разгоняет точку вдоль траектории, а изменяет направление её скорости. Обозначается aₙ и существует даже при постоянном модуле скорости.
Направление скорости при движении по окружности всё время меняется: в каждой точке оно совпадает с касательной. Поэтому меняется и вектор ускорения, ведь ускорение связано с изменением вектора скорости. Движение называют равноускоренным не из-за постоянства направления полного ускорения, а потому, что угловое ускорение α имеет постоянное значение.
Постоянное угловое ускорение означает одинаковое изменение угловой скорости за равные интервалы времени, поэтому ω = ω₀ + αt. Линейная скорость точки зависит от расстояния до оси: v = ωR. Следовательно, при неизменном радиусе скорость также меняется по линейному закону, а её изменение по касательной описывается ускорением.
Полное ускорение удобно раскладывать на две части, потому что скорость меняется сразу в двух отношениях: по модулю и по направлению. Тангенциальная составляющая отвечает за изменение модуля, а нормальная — за поворот вектора скорости к новому направлению. Касательная и радиус в одной точке окружности перпендикулярны, поэтому aτ и aₙ взаимно перпендикулярны.
За малый промежуток времени изменение линейной скорости по касательной связано с изменением угловой скорости: Δv = RΔω. При делении на время получается aτ = αR. Поворот направления скорости даёт нормальное ускорение aₙ = v²/R = ω²R, а модуль полного ускорения равен √(aτ² + aₙ²).
Второй закон Ньютона применяют к каждой составляющей отдельно, поскольку направления ускорений различны. Вдоль касательной действует результирующая тангенциальная сила Fτ = maτ, а к центру направлена нормальная сила Fₙ = maₙ. Полная сила является их векторной суммой, поэтому при перпендикулярности составляющих F = √(Fτ² + Fₙ²).
| Величина | Обозначение и формула | Направление | Изменение при α = const |
|---|---|---|---|
| Угловое ускорение | α | Вдоль оси вращения | Постоянно |
| Угловая скорость | ω = ω₀ + αt | По направлению вращения | Изменяется линейно |
| Линейная скорость | v = ωR | По касательной | Изменяется линейно |
| Тангенциальное ускорение | aτ = αR | По касательной | Постоянно |
| Нормальное ускорение | aₙ = v²/R = ω²R | К центру окружности | Меняется вместе с ω² |
| Полное ускорение | a = √(aτ² + aₙ²) | Между касательной и радиусом | Обычно изменяется |
| Тангенциальная сила | Fτ = maτ | По касательной | Постоянна при m = const |
| Нормальная сила | Fₙ = maₙ | К центру окружности | Меняется вместе с aₙ |
В таблице сначала находят угловые величины, затем через радиус переходят к линейным. Для сил используют соответствующие ускорения и массу тела. Если нужно получить модуль полной величины, перпендикулярные составляющие складывают по теореме Пифагора.
Точка движется по окружности радиусом 0,5 м, а её угловая скорость за 4 с возрастает от 2 до 6 рад/с. Требуется найти α, aτ и aₙ в конце движения. Сначала определим постоянное угловое ускорение, затем последовательно перейдём к двум составляющим ускорения.
Ответ: α = 1 рад/с², aτ = 0,5 м/с², aₙ = 18 м/с². Нормальное ускорение получилось значительно больше тангенциального, потому что оно зависит от квадрата угловой скорости.
Автомобиль массой 1000 кг движется по закруглению радиусом 50 м со скоростью 10 м/с и имеет тангенциальное ускорение 2 м/с². Нужно найти составляющие силы и полную силу. Силы направлены перпендикулярно, поэтому их нельзя складывать обычным арифметическим сложением.
Ответ: Fτ = 2000 Н, Fₙ = 2000 Н, F ≈ 2,83 кН. Полная сила направлена между касательной и радиусом, под углом 45° к каждому из них.
Тело начинает движение из состояния покоя по окружности радиусом 2 м с α = 0,5 рад/с². Найдём величины через 6 с, используя формулы равноускоренного вращения. Путь по дуге определим через угол поворота.
Ответ: ω = 3 рад/с, v = 6 м/с, s = 18 м, aτ = 1 м/с², aₙ = 18 м/с², a ≈ 18,0 м/с². Здесь нормальная составляющая преобладает над тангенциальной.
Считать нормальное ускорение равным нулю при постоянной скорости по модулю ошибочно: направление скорости всё равно меняется. Проверка проста: если траектория искривлена, к центру есть aₙ = v²/R.
Тангенциальное и нормальное ускорения нельзя складывать как обычные числа, потому что они перпендикулярны. Такая ошибка возникает при забытом разложении вектора. Проверяйте модуль по формуле a = √(aτ² + aₙ²).
Формула aₙ = v²/R относится только к нормальному ускорению, а не к тангенциальному. Тангенциальное ускорение находят по aτ = αR. Сверяйте направление: касательная меняет модуль скорости, радиус — её направление.
Нельзя подставлять ω вместо v в формулу aₙ = v²/R без перехода v = ωR. Угловая скорость измеряется в рад/с, а линейная — в м/с. Перед вычислением проверьте, какая величина стоит в формуле и согласованы ли единицы.
Для изучения темы нужны второй закон Ньютона, кинематические характеристики движения по окружности и разложение вектора на перпендикулярные составляющие. Эти знания позволяют связать ускорение с силами.
Модель применяют при анализе движения автомобилей на поворотах, вращения деталей механизмов и движения спутников. Далее она используется при изучении движения по окружности под действием нескольких сил и законов сохранения.
Может ли движение по окружности быть равноускоренным, если направление ускорения меняется?
Да. Равноускоренным называют движение с постоянным угловым ускорением, а не движение с неизменным вектором полного ускорения. Направления тангенциальной и нормальной составляющих меняются вместе с положением точки, но угловое ускорение остаётся постоянным.
Почему при постоянной скорости по модулю всё равно существует ускорение?
Ускорение характеризует изменение вектора скорости, а не только его модуля. При движении по окружности направление скорости непрерывно меняется, поэтому возникает нормальное ускорение aₙ = v²/R.
Чем тангенциальное ускорение отличается от нормального?
Тангенциальное ускорение направлено по касательной и изменяет модуль скорости: aτ = αR. Нормальное ускорение направлено к центру окружности и изменяет направление скорости: aₙ = v²/R.
Как определить направление результирующей силы при движении по окружности?
Сначала находят тангенциальную силу по касательной и нормальную силу к центру окружности. Результирующая сила направлена по диагонали параллелограмма этих взаимно перпендикулярных сил.
Как перейти от угловых величин к линейным?
Для точки на расстоянии R от оси вращения используют v = ωR и aτ = αR. Нормальное ускорение можно вычислить как aₙ = ω²R или aₙ = v²/R.
§ 25. Динамика равноускоренного движения материальной точки по окружности
