§ 26. Закон всемирного тяготения

Определения и обозначения

Закон всемирного тяготения — формулировка зависимости силы притяжения между телами от их масс и расстояния. Он нужен, чтобы количественно описывать гравитационное взаимодействие и рассчитывать его силу, например для планеты и спутника.

Гравитационная сила — сила взаимного притяжения тел, направленная вдоль прямой, соединяющей их центры. Она действует на каждое из взаимодействующих тел и позволяет объяснить, почему планеты удерживаются на орбитах, а предметы падают к Земле.

Гравитационная постоянная G — коэффициент в законе всемирного тяготения; G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Она задаёт масштаб гравитационного взаимодействия и связывает массу и расстояние с силой, поэтому входит в расчёты для любых тел.

Центр масс — точка, в которой при расчёте можно считать сосредоточенной массу тела или системы тел. Это упрощение помогает применять закон к телам, размеры и форма которых не требуют подробного учёта каждой части.

Как это устроено

Эксперименты показывают, что при неизменном расстоянии увеличение массы одного тела усиливает притяжение в той же пропорции. Если массу этого тела увеличить вдвое, сила тоже станет вдвое больше. Аналогичная закономерность действует для второго тела: вдвое большая масса второго тела также удваивает силу. Поэтому сила пропорциональна произведению m₁m₂, а не только одной из масс.

Расстояние влияет на силу иначе: она уменьшается быстрее, чем при простой обратной зависимости от r. Это видно по движению планет и подтверждается измерениями: когда расстояние между телами увеличивается вдвое, сила становится в четыре раза меньше. При увеличении расстояния втрое она уменьшается в девять раз. Поэтому в знаменателе стоит квадрат расстояния, r², а не просто r. На графике относительной зависимости это означает быстрое убывание силы с ростом расстояния.

Соединив обе закономерности, записывают F ∝ m₁m₂/r². Чтобы вместо пропорциональности получить равенство, вводят универсальный коэффициент G — гравитационную постоянную. Получается закон всемирного тяготения: F = Gm₁m₂/r². Здесь F — модуль силы в ньютонах, массы m₁ и m₂ измеряются в килограммах, а r — в метрах; при таких единицах G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².

Каждое тело притягивает другое. По третьему закону Ньютона силы взаимодействия равны по модулю и направлены в противоположные стороны: одна приложена к первому телу, другая — ко второму. Поэтому нельзя складывать эти силы как будто они действуют на один объект. Если нужно найти равнодействующую на конкретном теле, учитывают только силы, приложенные именно к нему.

Формула непосредственно применима к материальным точкам — телам, размерами которых в задаче можно пренебречь. Её также можно применять к сферически симметричным телам, считая их массу сосредоточенной в центре. В обоих случаях r — расстояние между центрами, а не между ближайшими точками поверхностей. Для тел сложной формы одной формулы с расстоянием между центрами обычно недостаточно.

Закон всемирного тяготения и гравитационная сила

Строки таблицы показывают, за что отвечает каждый элемент закона: формула задаёт расчёт, а зависимости помогают предсказать изменение силы. Сначала определите, подходит ли к задаче условие о точечных или сферически симметричных телах, затем выберите правильное расстояние. Перед подстановкой проверьте, что массы выражены в килограммах, а расстояние — в метрах.

Если меняется только одна величина, удобно использовать пропорциональность, не пересчитывая всю формулу. Если же известны массы и расстояние, подставьте данные в закон и отдельно проследите за единицами. Это помогает отличить численное значение силы от того, как она изменяется.

Разбор задач

Задача 1. Найти силу притяжения тел массами 5 кг и 10 кг, находящихся на расстоянии 2 м. Сначала убеждаемся, что массы и расстояние заданы в единицах СИ, и подставляем их в закон. Затем вычисляем числитель и квадрат расстояния, не забывая умножить на G.

1. Записываем формулу: F = Gm₁m₂/r².
2. Подставляем значения: F = 6,67·10⁻¹¹·5·10/(2²) Н.
3. Вычисляем: F ≈ 8,34·10⁻¹⁰ Н. Единицы согласованы: G вместе с килограммами и метрами даёт ньютоны.

Ответ: сила притяжения приблизительно равна 8,34·10⁻¹⁰ Н. Получилось очень малое значение, потому что гравитационная постоянная мала, а массы тел по сравнению с планетами невелики.

Задача 2. Во сколько раз изменится сила, если массу одного тела увеличить в 3 раза, а расстояние уменьшить в 2 раза? Здесь не требуется находить исходную силу: достаточно сравнить новую формулу со старой. Увеличенная масса даёт множитель 3, а уменьшение r вдвое влияет на знаменатель через квадрат.

1. По формуле F ∝ m/r² увеличение массы в 3 раза умножает силу на 3.
2. Новое расстояние равно r/2, поэтому его квадрат равен r²/4. Деление на r²/4 увеличивает силу ещё в 4 раза.
3. Перемножаем множители: 3·4 = 12.

Ответ: сила увеличится в 12 раз. Проверка здравого смысла проста: более массивное тело усиливает притяжение, а сближение тел дополнительно увеличивает его.

Задача 3. Определить массу планеты по известным радиусу R, ускорению свободного падения g на поверхности и G. На тело массой m у поверхности планеты действует сила тяжести mg. По закону всемирного тяготения эта же сила равна притяжению планетой, массу которой обозначим M; расстояние от центра планеты до поверхности равно R.

1. Приравниваем выражения: mg = GMm/R².
2. Сокращаем массу тела m, поскольку она не влияет на найденную массу планеты: g = GM/R².
3. Выражаем искомую величину: M = gR²/G. Подставляем значения g и R в единицах СИ, затем проверяем, что результат имеет единицу килограмма.

Ответ: масса планеты вычисляется по формуле M = gR²/G. Численное значение можно получить, подставив данные условия; если радиус дан в километрах, сначала переводим его в метры.

Типичные ошибки

Подставлять расстояние между поверхностями тел — ошибка для сферических тел. Её допускают, потому что именно такой промежуток часто указан в условии. Нужно прибавить к нему радиусы тел и получить расстояние между центрами; если задано расстояние между центрами, ничего прибавлять не следует.

Забывать квадрат расстояния — значит заменить обратную пропорциональность квадрату простой обратной зависимостью. Так случается, если запомнить лишь, что удаление ослабляет притяжение. Проверьте формулу размерностью и контрольным примером: увеличение расстояния вдвое должно уменьшать силу в четыре раза.

Массу нельзя подменять весом или силой тяжести. Масса — величина в килограммах, а вес и сила тяжести — силы, измеряемые в ньютонах; при смешении величин формула теряет смысл. Перед вычислением проверьте единицы всех данных и не используйте силу вместо m₁ или m₂.

Силы притяжения двух тел не складывают как силы, приложенные к одному телу. Путаница возникает из-за того, что обе силы описывают одно взаимодействие. Уточните, на какое тело действует каждая сила: по третьему закону Ньютона они приложены к разным телам и потому не компенсируют друг друга.

Связь с другими темами

Для работы с законом нужны понятия силы, массы и расстояния, умение разбирать пропорциональности и знание третьего закона Ньютона. Закон объясняет ускорение свободного падения: у поверхности планеты g = GM/R², а также помогает описывать движение искусственных спутников. Позже он понадобится при изучении движения планет, первой космической скорости и гравитационного поля. Так одна и та же зависимость связывает наблюдаемые орбиты с измеримыми массами и расстояниями.

Что запомнить

• Любые тела во Вселенной взаимно притягиваются.
• Сила притяжения прямо пропорциональна произведению масс тел.
• Сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел.
• Закон записывается формулой F = Gm₁m₂/r².
• Гравитационная сила направлена вдоль линии, соединяющей центры тел.
• Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению.
• Формулу применяют непосредственно к материальным точкам и сферически симметричным телам.