§ 15 Закон всемирного тяготения

Определения и обозначения

Сила тяготения — сила взаимного притяжения любых двух тел. Она направлена вдоль прямой, которая соединяет тела, и приложена к каждому из них со стороны другого. Например, Земля притягивает яблоко, а яблоко одновременно притягивает Землю. Это понятие нужно, чтобы описывать гравитационное взаимодействие и отличать его от других сил.

Закон всемирного тяготения утверждает: сила притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Иными словами, более массивные тела притягиваются сильнее, а удалённые друг от друга — слабее. Закон позволяет не только сравнивать силы, но и рассчитывать их численное значение. Его называют законом, потому что он задаёт общую количественную зависимость для гравитационного взаимодействия.

Гравитационная постоянная G — коэффициент в формуле закона, который показывает, насколько сильна гравитация в выбранной системе единиц. Её значение приблизительно равно 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Такая единица нужна, чтобы при подстановке масс в килограммах и расстояния в метрах сила получалась в ньютонах. Значение G очень мало, поэтому притяжение тел с обычными массами обычно незаметно.

Как это устроено

Закон описывает притяжение любых двух тел: от небольших предметов до звёзд и планет. Слово «всемирный» подчёркивает, что для этого взаимодействия нет особого набора правил для Земли и другого — для космоса. Гравитация действует и между предметами в комнате, но её трудно обнаружить, потому что массы предметов невелики. На движении планет и спутников действие притяжения заметно гораздо лучше.

Массы тел входят в формулу как произведение m₁m₂, поэтому увеличение одной массы в несколько раз увеличивает силу во столько же раз. Причина в том, что более массивное тело сильнее взаимодействует с другим телом гравитационно. Если увеличить обе массы, влияние каждого множителя складывается: удвоение каждой массы увеличит произведение, а значит и силу, в четыре раза. Сравнивать силы удобно, если остальные величины — прежде всего расстояние — не меняются.

Расстояние входит в знаменатель в квадрате: F ∝ 1/r². Поэтому при увеличении расстояния в несколько раз сила уменьшается не в такое же число раз, а в квадрат этого числа. Например, при увеличении r втрое сила становится в девять раз меньше. Квадратичная зависимость объясняет, почему гравитационное влияние быстро ослабевает при удалении от тела.

Формула закона: F = Gm₁m₂/r². F измеряется в ньютонах, массы m₁ и m₂ — в килограммах, расстояние r — в метрах, а G — в Н·м²/кг². Буква r обозначает расстояние между центрами тел, а не зазор между их поверхностями. Перед вычислениями полезно проверить, что все величины записаны в единицах СИ.

Формула непосредственно применима к материальным точкам — телам, размерами которых в данной задаче можно пренебречь. Ею также пользуются для тел со сферической симметрией, например для планет, если расстояние отсчитывают между их центрами. В таком случае гравитационное действие сферического тела можно рассчитывать так, словно его масса сосредоточена в центре. Для объектов неправильной формы и сложного распределения массы простого применения формулы может быть недостаточно.

Закон всемирного тяготения: величины и зависимости

Пользуйся таблицей как проверкой перед решением: выпиши величины и убедись, что массы и расстояние переведены в СИ. Затем выбери нужную зависимость: для изменения массы сравнивают произведение масс, а для расстояния учитывают квадрат. Если в задаче требуется численное значение силы, подставь данные в формулу целиком.

Разбор задач

Задача 1. Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 1 м. Найдите силу их притяжения, используя значение G.

1. Запишем данные: m₁ = 2 кг, m₂ = 3 кг, r = 1 м, G = 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Все величины уже выражены в единицах СИ, поэтому переводить их не нужно.
2. Выберем закон всемирного тяготения: F = Gm₁m₂/r². Сначала проверим, что расстояние относится к центрам тел, как требует формула.
3. Подставим значения: F = 6,67 · 10⁻¹¹ · 2 · 3 / 1² Н. Произведение масс равно 6 кг², а квадрат расстояния равен 1 м².
4. Вычислим: F = 4,002 · 10⁻¹⁰ Н ≈ 4,0 · 10⁻¹⁰ Н. Очень малый результат ожидаем: массы тел невелики, а G имеет малое значение.

Ответ: сила притяжения примерно равна 4,0 · 10⁻¹⁰ Н.

Задача 2. Как изменится сила притяжения, если массу одного тела увеличить в 4 раза, а расстояние между телами оставить прежним?

1. Обозначим исходную силу F₁. В формуле F = Gm₁m₂/r² масса одного тела входит в произведение в первой степени, а остальные множители не изменяются.
2. После увеличения массы в 4 раза новое произведение масс станет в 4 раза больше. Значения G и r² останутся прежними, поэтому таким же будет изменение силы.

Ответ: сила увеличится в 4 раза. Здесь не требуется подставлять конкретные массы: достаточно сравнить исходную и новую формулы.

Задача 3. Расстояние между двумя телами увеличили в 3 раза. Во сколько раз нужно изменить массу одного тела, чтобы сила притяжения не изменилась?

1. Пусть новая масса равна k раз исходной, а новое расстояние равно 3r. Тогда исходная сила пропорциональна m₁m₂/r², а новая — km₁m₂/(3r)².
2. Чтобы сила сохранилась, приравняем выражения. Получаем k/9 = 1, так как квадрат увеличенного расстояния равен 9r².
3. Отсюда k = 9. Массу одного тела нужно увеличить в девять раз: это точно компенсирует уменьшение силы из-за расстояния.

Ответ: массу одного тела нужно увеличить в 9 раз.

Типичные ошибки

Подставляют расстояние между поверхностями вместо расстояния между центрами. Так происходит, когда r принимают за ширину промежутка между телами, хотя закон задаёт расстояние между их центрами. Для сферических тел нужно прибавить к промежутку радиусы обоих тел. Перед вычислением обозначь центры и проверь, откуда именно измерено r.

Учитывают зависимость силы от расстояния как обратную, а не обратно пропорциональную квадрату. Тогда при увеличении расстояния вдвое получают уменьшение силы в два раза вместо четырёх. Ошибка возникает, если забыть показатель степени у r. Проверь себя подстановкой: при r → 2r знаменатель увеличивается в 2² = 4 раза.

Забывают возвести расстояние в квадрат или неверно возводят его в квадрат при подстановке. Это меняет результат и может дать неправильные единицы: в знаменателе должны быть квадратные метры. Записывай промежуточный шаг r² отдельно, прежде чем вычислять силу. Например, если r = 3 м, то r² = 9 м², а не 3 м².

Путают значение G или единицы измерения, поэтому получают неверный порядок величины силы. Обычно это случается при пропущенной степени десяти или при использовании масс в граммах без перевода в килограммы. Запиши G полностью: 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг², а затем проверь все данные в СИ. Оценка результата тоже помогает: притяжение обычных предметов должно быть очень слабым.

Связь с другими темами

Чтобы применять закон, нужно знать, что такое масса, сила и расстояние, помнить единицы СИ и уметь преобразовывать формулы. Эти знания позволяют правильно выразить неизвестную величину и не перепутать килограммы, метры и ньютоны. Закон всемирного тяготения помогает объяснить движение планет и спутников. Он также связан с темами силы тяжести и движения небесных тел, где гравитация определяет траекторию и характер движения.

Что запомнить

• Любые два тела притягиваются друг к другу.
• Силы притяжения двух тел равны по модулю и направлены противоположно.
• Сила тяготения пропорциональна произведению масс тел.
• Сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел.
• Формула закона: F = Gm₁m₂/r².
• Гравитационная постоянная G приблизительно равна 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг².