"Физика", Кабардин О.Ф.
Любые два тела притягиваются друг к другу — от яблока и Земли до планет и звёзд. Закон всемирного тяготения описывает эту силу одной формулой: она зависит от масс тел и расстояния между ними. С его помощью можно сравнивать силу притяжения, объяснять движение планет и спутников, а также решать задачи о взаимодействии тел. Главное — правильно определить расстояние между центрами и учесть его квадрат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Закон всемирного тяготения утверждает: любые два тела притягиваются друг к другу, а сила зависит от масс обоих тел и расстояния между ними. Чем больше массы, тем сильнее притяжение; чем дальше тела друг от друга, тем оно слабее. Закон нужен, чтобы описывать гравитационное взаимодействие не только Земли с предметами, но и планет, спутников и звёзд.
Гравитационная сила — это сила взаимного притяжения тел. Она направлена вдоль прямой, соединяющей центры тел, причём каждое тело притягивается к другому. Это направление помогает понять, куда направлены силы в задаче и на какие тела они действуют.
Гравитационная постоянная обозначается G и приблизительно равна 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Её единица измерения связывает ньютоны, метры и килограммы так, чтобы формула давала силу в ньютонах. G играет роль общего коэффициента: для любых тел значение постоянной одно и то же.
Расстояние между телами обозначают r и измеряют в метрах. Для шарообразных тел в формулу подставляют расстояние между их центрами, а не между поверхностями. Поэтому при известном зазоре между шарами к нему нужно прибавить радиус каждого шара.
Люди давно замечали, что предметы падают к Земле, а небесные тела движутся по своим путям. Движение планет казалось отдельным явлением, не связанным с падением предметов. Сопоставление этих наблюдений привело к идее, что и на Земле, и в космосе действует одно и то же взаимное притяжение. Закон всемирного тяготения объяснил оба типа движения общим правилом.
Сила зависит от произведения масс: F пропорциональна m₁m₂. Это означает, что при неизменных остальных условиях увеличение одной массы в несколько раз увеличивает силу во столько же раз. Если изменить обе массы, их множители учитываются вместе: например, увеличение одной массы вдвое, а другой втрое усиливает притяжение в шесть раз. Причина такой зависимости в том, что каждый из двух участников взаимодействия вносит вклад в величину притяжения.
Расстояние влияет иначе: сила обратно пропорциональна его квадрату. Это значит, что при увеличении r в n раз знаменатель формулы возрастает в n² раз, поэтому сила становится в n² раз меньше. Например, если расстояние увеличить втрое, притяжение ослабнет в девять раз, а не в три. При уменьшении расстояния вдвое сила, наоборот, возрастает в четыре раза.
Обе зависимости собраны в формуле F = Gm₁m₂/r². Чтобы найти силу, массы выражают в килограммах, расстояние — в метрах, затем перемножают массы и G и делят результат на квадрат расстояния. Полученное значение F измеряется в ньютонах. Если в задаче меняют несколько величин, удобнее сначала определить, во сколько раз меняется каждый множитель, а потом перемножить эти изменения.
Формула точно применяется к точечным телам — таким, чьи размеры малы по сравнению с расстоянием между ними. Её также можно использовать для шарообразных тел, если считать, что их массы сосредоточены в центрах. Поэтому для двух шаров берут расстояние от центра одного до центра другого. Для тел сложной формы или близко расположенных тел простая школьная подстановка может быть недостаточной.
| Величина или условие | Обозначение | Что означает или как влияет |
|---|---|---|
| Сила тяготения | F | Сила взаимного притяжения; измеряется в ньютонах. |
| Массы тел | m₁, m₂ | Входят в произведение: рост любой массы усиливает силу. |
| Расстояние между центрами тел | r | Входит в знаменатель в квадрате; измеряется в метрах. |
| Гравитационная постоянная | G | Коэффициент закона, G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². |
| Как меняется сила при изменении одной массы | m → nm | Сила изменяется в n раз в ту же сторону. |
| Как меняется сила при изменении расстояния | r → nr | Сила изменяется в n² раз в обратную сторону. |
Сначала найдите в таблице нужную величину и проверьте, в каких единицах её нужно выразить. Затем определите, изменяется ли сила прямо пропорционально величине или обратно пропорционально её квадрату. Это позволяет быстро оценить результат ещё до вычисления по формуле.
Задача 1. Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 1 м между центрами. Найдём силу их притяжения. Так как расстояние задано между центрами и все единицы уже подходят, можно сразу подставить величины в закон. Малое значение G заранее подсказывает, что сила будет очень небольшой.
Ответ: сила притяжения равна 4,002·10⁻¹⁰ Н, или приблизительно 4,0·10⁻¹⁰ Н.
Задача 2. Расстояние между двумя телами увеличили в 3 раза, массы не изменились. Требуется найти, во сколько раз изменилась сила. Подставлять конкретные массы не нужно: достаточно сравнить знаменатели в формуле. Поскольку r стоит в квадрате, изменение расстояния нужно тоже возвести в квадрат.
Ответ: сила уменьшилась в 9 раз и составляет одну девятую исходной.
Задача 3. Исходная сила равна F. Первую массу увеличили вдвое, вторую — втрое, а расстояние между центрами уменьшили вдвое. Чтобы не потерять ни одно изменение, рассмотрим отдельно влияние масс и расстояния. В конце перемножим полученные коэффициенты относительно исходной силы.
Ответ: новая сила притяжения равна 24F.
Подстановка расстояния между поверхностями вместо расстояния между центрами даёт слишком маленькое r и завышает силу. Ошибку допускают, когда мысленно измеряют зазор, а не расстояние, нужное для формулы. Проверьте, что для двух шаров к зазору прибавлены оба радиуса.
Иногда считают силу обратно пропорциональной самому расстоянию, а не его квадрату. Так происходит, если не заметить r² в знаменателе или перенести в расчёт только один множитель r. Для проверки возведите коэффициент изменения расстояния в квадрат: рост расстояния в 3 раза должен уменьшить силу в 9 раз.
Если забыть квадрат у r или неверно возвести в квадрат единицу измерения, результат окажется неправильным. При r в метрах знаменатель измеряется в м², а не в метрах. Проверьте запись формулы и подстановку: сначала найдите r², затем делите числитель на это значение.
Гравитационную силу иногда представляют как одну силу, действующую сразу на оба тела. Но тела взаимодействуют попарно: каждое притягивается к другому своей силой. Проверьте, что силы приложены к разным телам, равны по модулю и направлены противоположно.
Для решения задач о тяготении нужно знать, что такое масса и сила, помнить единицы измерения и уметь переводить величины в килограммы и метры. Также пригодятся пропорции и работа с квадратами: именно они показывают, как меняется сила при изменении масс или расстояния. Без этих навыков легко ошибиться даже при верно записанной формуле.
Закон применяют, чтобы объяснять движение планет и искусственных спутников: притяжение удерживает их на орбитах. Он также связан с весом тел и ускорением свободного падения, потому что эти явления возникают из-за притяжения Земли. В последующих темах закон помогает понять, почему действие гравитации зависит от массы и расстояния.
Почему тела вокруг нас не притягиваются заметным образом?
Сила притяжения между обычными предметами очень мала, потому что их массы невелики. В повседневной жизни она намного слабее трения и притяжения Земли, поэтому её трудно заметить.
Почему в формуле расстояние возводится в квадрат?
Такое уменьшение силы с расстоянием установлено законом всемирного тяготения и подтверждается наблюдениями за движением небесных тел. Поэтому расстояние, увеличенное в n раз, ослабляет силу в n² раз.
Какое расстояние нужно подставлять для двух шаров?
Нужно взять расстояние между центрами шаров, а не между их поверхностями. Если известен зазор, к нему прибавляют радиусы обоих шаров.
Что показывает гравитационная постоянная?
Она задаёт коэффициент пропорциональности в формуле тяготения и одинакова для всех тел. Её значение показывает, насколько мала сила притяжения тел массой по одному килограмму, разделённых расстоянием в один метр.
Одинаковы ли силы, с которыми два тела притягивают друг друга?
Да, силы равны по модулю, но направлены в противоположные стороны. Каждая действует на своё тело, поэтому они не уничтожают друг друга.
З Закон всемирного тяготения
