§ 25. Закон всемирного тяготения

Определения и обозначения

Закон всемирного тяготения утверждает, что любые два тела притягиваются друг к другу, причём сила зависит от их масс и расстояния между центрами. Чем больше массы, тем сильнее притяжение; чем больше расстояние, тем оно слабее. Слово «всемирный» показывает, что закон относится не только к планетам, но и ко всем телам. Он позволяет вычислять силу притяжения и объяснять движение небесных тел.

Сила всемирного тяготения — сила взаимного притяжения тел, направленная вдоль прямой, соединяющей их центры. Она действует на каждое из двух тел, причём оба тела притягиваются друг к другу. Эта сила описывает гравитационное взаимодействие, то есть притяжение, связанное с массами тел. Зная её направление и величину, можно учитывать влияние тел на их движение.

Гравитационная постоянная G — коэффициент в формуле закона всемирного тяготения; G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Она одинакова для разных тел и входит в расчёт вместе с их массами и расстоянием. Малое значение G помогает понять, почему притяжение обычных предметов почти не ощущается. Без этого коэффициента формула не давала бы правильную силу в ньютонах.

Расстояние между центрами тел — величина r, которую подставляют в формулу закона. Это не обязательно промежуток между ближайшими поверхностями тел: для шаров измеряют от центра одного шара до центра другого. Такая договорённость нужна, чтобы одинаково рассчитывать притяжение тел разных размеров. Если взять расстояние между поверхностями, результат будет неверным.

Как это устроено

Закон называют всемирным, потому что гравитационное притяжение возникает между любыми телами, имеющими массу. Земля притягивает Луну, Солнце притягивает планеты, а любые два предмета тоже притягиваются друг к другу. Однако у обычных предметов массы малы, поэтому сила между ними получается чрезвычайно слабой. Мы обычно замечаем действие Земли, потому что её масса очень велика, а не притяжение соседних вещей.

Величина силы зависит от массы каждого тела отдельно: если увеличить одну массу, притяжение усилится. Это происходит потому, что более массивное тело сильнее участвует в гравитационном взаимодействии. Например, при неизменных массе второго тела и расстоянии увеличение первой массы в 3 раза увеличит силу тоже в 3 раза. То же правило действует, если увеличить только вторую массу.

Расстояние ослабляет притяжение, причём учитывается квадрат расстояния. Это значит, что увеличение расстояния в n раз уменьшает силу в n² раз, если массы не изменились. Например, при увеличении расстояния в 2 раза сила становится в 4 раза меньше, а не в 2 раза. Квадрат в знаменателе формулы позволяет учитывать это быстрое ослабление взаимодействия.

Закон записывают формулой F = Gm₁m₂/r². Здесь F — сила притяжения, m₁ и m₂ — массы двух тел, r — расстояние между их центрами, G — гравитационная постоянная. Чтобы расчёт дал силу в ньютонах, массы нужно выразить в килограммах, а расстояние — в метрах. Поэтому граммы и сантиметры перед подстановкой переводят в единицы СИ.

Гравитационная постоянная связывает значения масс и расстояния с величиной силы и имеет одно и то же значение в этой формуле. Для обычных предметов сила мала, а у тел астрономических размеров массы настолько велики, что их притяжение заметно. Именно гравитационное взаимодействие удерживает планеты на орбитах вокруг Солнца и спутники около планет. Притяжение Земли действует и на тела у её поверхности.

Величины в законе всемирного тяготения

Перед расчётом проверьте, что массы указаны в килограммах, а расстояние — в метрах. Затем определите, какие величины изменяются, и проследите, как это повлияет на F. Для численного вычисления используйте формулу F = Gm₁m₂/r².

Разбор задач

Масса одного тела увеличилась в 3 раза

Массу одного из двух тел увеличили в 3 раза, не меняя массу второго тела и расстояние между ними. Нужно определить, как изменилась сила притяжения. Численные значения масс и расстояния здесь не нужны: достаточно сравнить исходную и новую формулы.

1. Запишем зависимость силы: F = Gm₁m₂/r². При неизменных G, m₂ и r сила прямо пропорциональна m₁.
2. Заменим m₁ на 3m₁. Тогда вся правая часть формулы увеличится в 3 раза, потому что остальные множители не изменились.
3. Сравним новую силу с первоначальной: Fнов = 3F. Значит, притяжение стало сильнее.

Ответ: сила притяжения увеличилась в 3 раза. Такой вывод верен только при неизменных массе второго тела и расстоянии между центрами.

Расстояние увеличили в 2 раза

Расстояние между центрами двух тел увеличили в 2 раза; нужно узнать, как изменится сила. Массы тел и гравитационная постоянная остаются прежними. Поскольку расстояние стоит в знаменателе в квадрате, следует сравнить квадраты исходного и нового расстояний.

1. Исходная сила равна F = Gm₁m₂/r². Новое расстояние равно 2r, поэтому в формулу вместо r подставим 2r.
2. Получаем Fнов = Gm₁m₂/(2r)² = Gm₁m₂/(4r²). Знаменатель стал в 4 раза больше, а числитель не изменился.
3. Следовательно, новая сила равна четверти исходной: Fнов = F/4. Притяжение уменьшилось, а не увеличилось.

Ответ: сила притяжения уменьшилась в 4 раза. Для проверки можно возвести коэффициент увеличения расстояния 2 в квадрат.

Расчёт силы по известным массам

Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 1 м между центрами. Требуется рассчитать силу их притяжения, используя G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Все величины уже выражены в единицах СИ, поэтому их можно подставлять в формулу без дополнительного перевода.

1. Записываем закон: F = Gm₁m₂/r². Подставляем данные: F = 6,67·10⁻¹¹ · 2 · 3 / 1².
2. Вычисляем произведение масс: 2 · 3 = 6 кг², а квадрат расстояния равен 1 м². Поэтому численное значение силы равно 6,67·10⁻¹¹ · 6.
3. Получаем F = 40,02·10⁻¹¹ Н, или F = 4,002·10⁻¹⁰ Н. Запись в стандартном виде подчёркивает, насколько мала эта сила.

Ответ: сила притяжения равна 4,002·10⁻¹⁰ Н. Её малость объясняет, почему взаимное притяжение предметов с такими массами не ощущается в быту.

Типичные ошибки

В формулу иногда подставляют расстояние между ближайшими поверхностями тел. Так случается, если забыть, что r в законе отсчитывают между центрами тел, а не от края до края. Для шаров сложите расстояние от поверхности до центра каждого шара с промежутком между поверхностями. Проверьте, что в формулу вошло именно расстояние «центр — центр».

Другая ошибка — забыть квадрат у расстояния в знаменателе. Тогда неверно находятся и сила, и её изменение при перемене расстояния. Вспомните исходную запись F = Gm₁m₂/r² и перед вычислением проверьте, что весь r возведён в квадрат. Если расстояние увеличили в 2 раза, знаменатель должен увеличиться в 4 раза.

Иногда считают, что при увеличении расстояния в 2 раза сила уменьшается лишь в 2 раза. Так происходит, когда замечают знаменатель, но пропускают квадрат. Сравните квадраты расстояний: (2r)² = 4r², следовательно, новая сила составляет четверть исходной. Эта проверка помогает не перепутать изменение силы с изменением самого расстояния.

Нельзя подставлять граммы и сантиметры как килограммы и метры. Такие единицы дают неверный ответ, потому что формула с указанным значением G рассчитана на единицы СИ. Перед вычислением переведите граммы в килограммы, а сантиметры — в метры, затем проверьте единицы в подстановке. Например, 300 г = 0,3 кг, а 50 см = 0,5 м.

Связь с другими темами

Для работы с законом нужны знания о силе, массе и расстоянии, а также умение пользоваться формулами. Важно уверенно переводить величины в единицы СИ: массы — в килограммы, расстояния — в метры. Эти навыки помогают правильно подставлять данные и понимать полученный результат.

Закон всемирного тяготения связывает изучение сил с движением планет и искусственных спутников. Притяжение объясняет, почему небесные тела воздействуют друг на друга и движутся по орбитам. Оно также связано с притяжением предметов к Земле.

Позже знание закона пригодится при изучении гравитационного поля и движения небесных тел. Гравитационное поле описывает, как тела проявляют своё притяжение в пространстве вокруг себя. Закон помогает связывать это взаимодействие с массами тел и расстоянием между ними.

Что запомнить

• Любые два тела притягиваются друг к другу.
• Сила притяжения растёт вместе с массой каждого тела.
• Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел.
• Формула закона: F = Gm₁m₂/r².
• В формуле r — расстояние между центрами тел.
• Гравитационная постоянная G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².