6. Закон всемирного тяготения

Определения и обозначения

Сила тяготения — сила взаимного притяжения любых тел, направленная вдоль прямой, соединяющей их центры. Это означает, что взаимодействие не бывает односторонним: каждое тело притягивает другое. Такое понятие нужно, чтобы описывать гравитационное взаимодействие и определять направление действующих сил.

Закон всемирного тяготения утверждает: сила притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами. Иными словами, большие массы усиливают притяжение, а удаление тел ослабляет его. Закон позволяет не только сравнивать силы, но и вычислять их численное значение.

Гравитационная постоянная G — коэффициент пропорциональности в формуле закона; G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Её значение мало, поэтому притяжение тел привычных размеров обычно незаметно. Единицы постоянной согласуют формулу с измерением силы в ньютонах, массы в килограммах и расстояния в метрах.

Расстояние между телами r — расстояние между их центрами, используемое в формуле закона. Оно измеряется в метрах, а в выражении стоит в квадрате. Это обозначение нужно выбирать внимательно: промежуток между поверхностями может отличаться от r.

Как это устроено

Когда тела взаимодействуют гравитационно, каждое из них притягивает другое. Силы приложены к разным телам, направлены вдоль линии центров и имеют противоположные направления. Такое взаимное действие следует учитывать даже тогда, когда одно тело намного массивнее другого: оно не означает, что притяжение действует только на менее массивное тело.

Масса показывает, насколько тело участвует в гравитационном взаимодействии. Если увеличить одну массу, оставив вторую массу и расстояние прежними, произведение m₁m₂ увеличится во столько же раз. Поэтому сила тоже возрастёт в это число раз; такое же рассуждение справедливо для изменения второй массы. Удвоение одной массы, например, удваивает силу, а удвоение обеих увеличивает её в четыре раза.

Расстояние влияет иначе, потому что в формуле оно стоит в знаменателе и возводится в квадрат. При увеличении r в k раз знаменатель увеличивается в k² раз, тогда как числитель остаётся прежним. Поэтому сила становится в k² раз меньше: если расстояние выросло втрое, притяжение ослабло в девять раз. Эта зависимость объясняет, почему гравитационное воздействие быстро уменьшается при удалении от тела.

Закон записывают формулой F = Gm₁m₂/r². Здесь F — сила в ньютонах (Н), m₁ и m₂ — массы в килограммах (кг), r — расстояние между центрами в метрах (м), G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Формула связывает эти величины и даёт силу в единицах СИ. Подставляя числа, нужно сначала выразить все данные в указанных единицах и возвести в квадрат только r.

В таком виде закон применяют к точечным телам, то есть телам, размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними. Он подходит и для сферически симметричных тел, например шарообразных, если расстояние измеряют между их центрами. В этих случаях распределение массы можно учесть так, будто она сосредоточена в центре тела. Для тел сложной формы и размеров, которыми нельзя пренебречь, простую формулу без дополнительных рассуждений применять нельзя.

Величины и зависимости в законе всемирного тяготения

Пользуйся таблицей, чтобы быстро определить, как изменится сила при изменении одной величины, если остальные остаются прежними. Для численного расчёта подставь значения в формулу, соблюдая единицы СИ. Если меняется расстояние, учитывай квадрат коэффициента изменения.

Разбор задач

Задача 1. Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 1 м между центрами. Найдём силу их притяжения. Сначала проверим, что данные заданы в единицах СИ, затем используем закон всемирного тяготения.

1. Запишем данные: m₁ = 2 кг, m₂ = 3 кг, r = 1 м, G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг².
2. Подставим значения: F = Gm₁m₂/r² = 6,67 · 10⁻¹¹ · 2 · 3 / 1² Н.
3. Вычислим произведение: 6,67 · 10⁻¹¹ · 6 = 4,002 · 10⁻¹⁰ Н. Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: F ≈ 4,0 · 10⁻¹⁰ Н. Получилось очень малое значение, потому что гравитационная постоянная мала, а массы тел невелики. Здесь сила относится именно к притяжению этих двух тел друг к другу.

Задача 2. Расстояние между двумя телами увеличили в 3 раза, а массы не изменили. Нужно сравнить новую силу с первоначальной. Поскольку массы и G остались прежними, изменяется только знаменатель формулы.

1. Обозначим первоначальное расстояние r, а новое расстояние — 3r.
2. Запишем отношение сил: F₂/F₁ = r²/(3r)² = r²/(9r²) = 1/9.
3. Значит, новая сила составляет одну девятую первоначальной. Делить на 3 было бы неверно, так как расстояние в законе возводится в квадрат.

Ответ: сила уменьшилась в 9 раз. Проверить рассуждение можно, подставив увеличенное расстояние в знаменатель формулы: он вырастет в девять раз, поэтому сила уменьшится во столько же раз.

Задача 3. Сила притяжения F известна, как и масса m₁ одного тела и расстояние r между центрами. Требуется найти массу второго тела m₂. Неизвестную величину удобно сначала выделить алгебраически, а уже затем подставить числа.

1. Начнём с формулы F = Gm₁m₂/r².
2. Умножим обе части равенства на r² и разделим на Gm₁: m₂ = Fr²/(Gm₁).
3. Подставим известные величины в единицах СИ. Единицы результата: (Н·м²)/(Н·м²/кг² · кг) = кг.

Ответ: m₂ = Fr²/(Gm₁); численное значение зависит от данных задачи. Проверка размерности показывает, что получена масса, а не сила или расстояние. При расчёте важно не забыть квадрат расстояния и поставить его в числитель после преобразования формулы.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставлять расстояние между поверхностями тел вместо расстояния между их центрами. Так поступают, когда путают геометрический промежуток и величину r в формуле. Проверь себя: для шарообразных тел сложи промежуток между поверхностями с радиусами обоих тел.

Вторая ошибка — считать, что увеличение расстояния в k раз уменьшает силу в k раз. Это происходит, если забыть, что r возводится в квадрат. Для проверки подставь kr вместо r: знаменатель станет k²r², следовательно, сила уменьшится в k² раз.

Третья ошибка — забыть квадрат расстояния или возвести в квадрат произведение масс. Квадрат в формуле относится только к r, а массы перемножаются без возведения в квадрат. Перед вычислением сравни запись с F = Gm₁m₂/r² и отдельно проверь порядок действий.

Четвёртая ошибка — смешивать силу притяжения двух тел с весом или с силой, с которой Земля притягивает тело. Эти понятия описывают разные взаимодействия и силы могут быть приложены к разным телам. Проверь, какие именно два тела названы в задаче и на какое тело действует найденная сила.

Связь с другими темами

Для применения закона нужны масса, сила, расстояние и единицы СИ: килограммы, метры и ньютоны. Также нужно уметь преобразовывать формулы и работать с квадратами величин. Эти знания помогают не только подставлять числа, но и проверять, верно ли выражена неизвестная величина.

У поверхности Земли притяжение Земли к телу проявляется как сила тяжести. Закон всемирного тяготения также помогает объяснить движение планет и спутников: их движение связано с гравитационным притяжением. Так общий закон связывает задачи о телах на Земле с движением небесных тел.

Что запомнить

• Любые два тела притягиваются друг к другу.
• Силы притяжения действуют вдоль прямой, соединяющей центры тел.
• Сила прямо пропорциональна каждой из масс.
• Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами.
• Закон записывается формулой F = Gm₁m₂/r².
• В формуле r — расстояние между центрами тел, а G — гравитационная постоянная.