5. Период и частота

Определения и обозначения

Периодическое движение — движение, которое повторяется через одинаковые промежутки времени. Например, колеблющееся тело снова проходит те же положения и движется так же, как раньше. Это понятие позволяет описывать процессы, в которых движение снова и снова возвращается к одному состоянию. Для такого описания удобно определить длительность одного повторения.

Период колебаний T — время одного полного колебания; его единица измерения — секунда (с). Полное колебание заканчивается, когда тело вернулось в исходное состояние и движется в прежнем направлении. Период показывает, насколько быстро повторяется движение. Он нужен, чтобы сравнивать колебания по длительности одного цикла.

Частота колебаний ν — число полных колебаний за единицу времени; единица СИ — герц (Гц). Частота показывает, сколько раз движение успевает повториться за секунду. Чем больше колебаний укладывается в одинаковый промежуток времени, тем выше частота. Эту величину используют, когда важно сравнить быстроту повторения процессов.

Герц — единица частоты, равная одному колебанию в секунду: 1 Гц = 1 колебание/с. Например, частота 3 Гц означает, что за каждую секунду происходит три полных колебания. Название единицы напоминает, что частота считается именно по секундам. Поэтому время в расчётах частоты следует выражать в секундах.

Как это устроено

Если движение периодическое, его состояние через каждый период повторяется. Поэтому достаточно знать время одного полного колебания, чтобы определить, когда тело снова окажется в таком же состоянии. За два периода оно совершит два одинаковых цикла, за три — три. Период становится основным временным масштабом для описания повторяющегося движения.

Чтобы найти частоту, нужно подсчитать число полных колебаний N за известное время t и разделить его на это время: ν = N/t. Деление показывает, сколько колебаний приходится на одну единицу времени. Например, если за 10 с произошло 20 колебаний, то за секунду приходится 20/10 = 2 колебания. Значит, частота равна 2 Гц.

Период находят, если общее время t разделить на число полных колебаний N: T = t/N. Так мы определяем, какая часть общего времени приходится на один цикл. Если 12 колебаний заняли 6 с, то одно колебание длилось 6/12 = 0,5 с. Формула подходит, когда колебания повторяются с одинаковым периодом и известно их полное число.

За время одного периода тело совершает одно колебание, поэтому частота равна числу колебаний за время T: ν = 1/T. Если, например, одно колебание занимает 0,25 с, то за секунду помещается 1/0,25 = 4 колебания. Обратное рассуждение даёт T = 1/ν: период показывает, сколько секунд длится одно колебание. Значит, увеличение частоты сопровождается уменьшением периода.

На графике колебания по времени нужно найти два одинаковых состояния тела, разделённых ближайшим повторением. Например, расстояние по оси времени между двумя соседними верхними точками графика равно периоду. Можно также сравнить моменты, когда тело проходит положение равновесия в одном и том же направлении. Не следует брать соседние противоположные положения: между ними обычно проходит половина периода, а не полный цикл.

Период и частота колебаний

Сначала определите, какую величину требуется найти: длительность одного колебания или число колебаний за секунду. Затем выберите подходящую формулу и проверьте, что время выражено в секундах. Строка о связи между величинами помогает перейти от известного периода к частоте и наоборот.

Разбор задач

Задача 1. Тело совершило 15 полных колебаний за 30 с. Найдите частоту колебаний. Чтобы получить частоту, нужно узнать, сколько из этих колебаний приходится на одну секунду. Время уже задано в секундах, поэтому переводить его не требуется.

1. Записываем данные: N = 15, t = 30 с.
2. Используем формулу частоты: ν = N/t.
3. Подставляем значения: ν = 15/30 с = 0,5 Гц.

Ответ: частота равна 0,5 Гц. Это значит, что в среднем за секунду тело совершает половину колебания, или одно полное колебание за две секунды.

Задача 2. Период колебаний равен 0,4 с. Найдите частоту и число колебаний за 2 мин. Сначала вычислим частоту, так как она показывает число колебаний в секунду. Затем переведём минуты в секунды и найдём, сколько таких колебаний укладывается в заданное время.

1. Находим частоту: ν = 1/T = 1/0,4 с = 2,5 Гц.
2. Переводим время: t = 2 мин = 2 · 60 = 120 с.
3. Вычисляем число колебаний: N = νt = 2,5 · 120 = 300.

Ответ: частота равна 2,5 Гц, за 2 мин тело совершит 300 колебаний. Проверка по периоду даёт тот же результат: 120/0,4 = 300.

Задача 3. Первое тело совершает 40 колебаний за 20 с, а второе — 45 колебаний за 30 с. Сравним их периоды и частоты. Для каждого тела отдельно используем число колебаний и время, а период найдём как величину, обратную частоте. Сравнивать результаты удобнее после того, как они записаны в одинаковых единицах.

1. Для первого тела: ν₁ = 40/20 = 2 Гц, T₁ = 1/2 = 0,5 с.
2. Для второго тела: ν₂ = 45/30 = 1,5 Гц, T₂ = 1/1,5 ≈ 0,67 с.
3. Сравниваем: ν₁ > ν₂, а T₁ < T₂.

Ответ: первое тело колеблется чаще, его период меньше. Второе совершает меньше колебаний за секунду, поэтому одно его колебание длится дольше.

Типичные ошибки

Период и частоту иногда путают, потому что обе величины описывают одно и то же повторяющееся движение. Но период — время одного колебания, а частота — число колебаний за секунду, поэтому у них разные единицы. Проверьте, что именно требуется найти: длительность цикла или число циклов в секунду. Быстрая проверка связи — произведение Tν должно быть равно 1.

Если в формуле частоты перепутать местами время и число колебаний, получится ν = t/N вместо ν = N/t. Такая запись неверна по смыслу: она показывает время на одно колебание, то есть период, а не число колебаний за секунду. Перед подстановкой назовите единицы результата: у частоты должны получиться колебания в секунду. Если вышли секунды на колебание, найден период.

В задаче с минутами легко сразу подставить число минут в формулу частоты и получить ответ не в герцах. Причина ошибки в том, что герц определяется через секунды, а минута содержит 60 секунд. Перед расчётом замените минуты на секунды и подпишите единицы в вычислениях. Например, 2 мин — это 120 с, а не 2 с.

Ещё одна ошибка — принять часть колебания за полное и неверно посчитать N. Полный цикл требует возвращения тела к исходному состоянию с тем же направлением движения, поэтому соседний максимум и минимум составляют только половину периода. На графике проследите за положением и направлением движения, а затем считайте полные повторения. Полученное число можно проверить, сопоставив его с общим временем и периодом.

Связь с другими темами

Для расчётов нужны единицы времени и умение переводить минуты в секунды: 1 мин = 60 с. Также требуется понимать, что называют механическим колебанием, и отличать полный цикл от его части. Без этого можно неправильно определить число колебаний или подставить в формулу неподходящее время.

Период и частота помогают описывать волны и звук, а также колебания маятника. Те же величины применяют при изучении переменного электрического тока, который периодически меняет направление и значение. В каждой из этих тем период показывает длительность повторения, а частота — число повторений за секунду.

На графике координаты или смещения колеблющегося тела период находят по повторяющимся состояниям движения. Умение сравнивать одинаковые точки графика помогает отличить полный цикл от половины цикла. Затем по периоду можно вычислить частоту, даже если число колебаний на графике не подсчитано напрямую.

Что запомнить

• Период — время одного полного колебания.
• Частота — число колебаний за единицу времени.
• Период обозначают T, частоту — ν.
• T = t/N.
• ν = N/t.
• Период и частота взаимно обратны: T = 1/ν.
• Единица частоты — герц: 1 Гц = 1 колебание в секунду.