"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Все тела, обладающие массой, притягиваются друг к другу. Закон всемирного тяготения позволяет рассчитать силу этого взаимодействия по массам тел и расстоянию между их центрами: F = Gm₁m₂/r². Он объясняет движение планет и спутников, помогает рассчитывать орбиты и лежит в основе многих задач о космических аппаратах. Главное — верно определить расстояние r и помнить, что сила зависит от него как от квадрата.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Гравитационное взаимодействие — взаимное притяжение любых тел, обладающих массой. Оно существует между всеми телами, хотя обычно заметно лишь для очень массивных объектов. Это понятие нужно, чтобы описывать притяжение не только Земли и предметов, но и планет, звёзд и спутников.
Сила всемирного тяготения — сила притяжения между двумя телами, направленная вдоль линии, соединяющей их центры. Её обозначают F, а вектор силы направлен к телу, которое притягивает. Такое описание позволяет учитывать не только величину взаимодействия, но и направление действия силы.
Закон всемирного тяготения — утверждение о зависимости силы притяжения от масс тел и расстояния между ними. Для двух тел он записывается формулой F = Gm₁m₂/r². Закон нужен, чтобы количественно сравнивать гравитационное взаимодействие и решать задачи о движении небесных тел.
Гравитационная постоянная — коэффициент пропорциональности в формуле закона всемирного тяготения и физическая константа. Её обозначают G; в СИ G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Эта постоянная связывает массы и расстояние с силой и имеет одно и то же значение для любых тел.
Масса характеризует тело и его участие в гравитационном взаимодействии: каждое тело с массой притягивает другое. Наблюдаемое притяжение взаимно, потому что взаимодействуют оба тела, а не только одно из них воздействует на другое. Чем больше массы, тем сильнее их взаимодействие, поэтому сила пропорциональна каждой массе отдельно.
Если удвоить массу одного тела, оставив остальные величины неизменными, сила удвоится; если увеличить обе массы вдвое — вырастет в четыре раза. Эти зависимости объединяются в произведение m₁m₂. Опыт показывает также, что сила уменьшается с расстоянием; вместе обе закономерности дают F = Gm₁m₂/r², где G задаёт масштаб взаимодействия.
Расстояние r в формуле стоит в квадрате, поэтому при удалении сила ослабевает быстрее, чем при зависимости 1/r. Если расстояние увеличить в 2 раза, сила станет в 4 раза меньше, а при увеличении в 3 раза — в 9 раз. При сближении вдвое сила, напротив, возрастает в четыре раза, если массы не меняются.
По третьему закону Ньютона тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению. Эти силы не складывают как действующие на одно тело: сила со стороны первого тела приложена ко второму, а ответная — к первому. Поэтому каждая сила может по-разному влиять на движение своего тела, особенно если их массы различны.
В формуле тела считают материальными точками, если их размерами можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними. Сферически симметричные тела, например планеты, можно рассматривать как точки, расположенные в их центрах, если тела не перекрываются. Поэтому закон применим к планетам и спутникам: для них берут расстояние между центрами, а не между поверхностями.
| Величина | Обозначение | Формула или зависимость | Единица СИ | Что происходит при увеличении |
|---|---|---|---|---|
| Масса первого тела | m₁ | F ∝ m₁ | кг | Сила растёт прямо пропорционально |
| Масса второго тела | m₂ | F ∝ m₂ | кг | Сила растёт прямо пропорционально |
| Расстояние между центрами тел | r | F ∝ 1/r² | м | Сила уменьшается обратно пропорционально квадрату |
| Сила всемирного тяготения | F | F = Gm₁m₂/r² | Н | Зависит от изменения масс и расстояния |
| Гравитационная постоянная | G | G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг² | Н·м²/кг² | Не изменяется: это постоянная |
Чтобы определить, как изменится сила, сначала найдите изменяемую величину в таблице, затем примените указанную зависимость. Если меняется несколько величин, учитывайте влияние каждой из них отдельно и перемножайте полученные коэффициенты. Перед численным расчётом убедитесь, что массы заданы в килограммах, а расстояние — в метрах.
Найти силу притяжения между телами массами 100 кг и 200 кг, находящимися на расстоянии 2 м. Здесь известны обе массы и расстояние между центрами тел, поэтому подходит закон всемирного тяготения. Малость ожидаемого результата не означает ошибку: гравитационная постоянная очень мала.
Ответ: F ≈ 3,34 · 10⁻⁷ Н. Сила мала, потому что массы тел невелики по сравнению с массами планет.
Одну из масс увеличивают в 3 раза, а расстояние между телами уменьшают в 2 раза. Нужно определить изменение силы, не вычисляя её исходное значение. Такое решение проще получить из пропорциональностей закона, чем подставлять конкретное значение G.
Ответ: сила притяжения увеличится в 12 раз. Изменения независимы в формуле: одно относится к массе, другое — к квадрату расстояния.
Пусть спутник массой m находится на высоте h над Землёй, радиус которой R, а масса равна M. Требуется рассчитать силу притяжения и сравнить её с силой притяжения на поверхности. В формулу нужно подставить расстояние от центра Земли до спутника, а не высоту над поверхностью.
Ответ в общем виде: F = GMm/(R + h)², а F/F₀ = (R/(R + h))². Численный результат зависит от заданных значений; при h > 0 орбитальная сила меньше, чем у поверхности.
Подставлять высоту над поверхностью вместо расстояния между центрами тел — ошибка: высота не включает радиус Земли. Её допускают, принимая расстояние от поверхности за нужный r. Проверьте геометрию: для спутника r = R + h, а у поверхности r ≈ R.
Запись F ∝ 1/r вместо F ∝ 1/r² неверна, потому что в законе всемирного тяготения расстояние входит в квадрате. Такую ошибку часто вызывают ассоциации с другими зависимостями, где встречается 1/r. Проверьте себя на простом примере: если r удвоить, сила должна уменьшиться в четыре раза.
Силы взаимодействия двух тел нельзя складывать как силы, приложенные к одному телу. Их равенство и противоположные направления не означают компенсацию, поскольку каждая сила действует на отдельное тело. Для проверки нарисуйте два тела и укажите точку приложения каждой силы.
Подстановка граммов, сантиметров или табличного G без согласования единиц приводит к неправильному числу. Ошибку допускают, забывая, что формула использует величины в СИ. Перед вычислением переведите массу в килограммы, расстояние в метры и проверьте, что итоговая единица силы — ньютон.
Для работы с законом нужны понятия массы и силы, второй закон Ньютона, векторное сложение и умение пользоваться единицами СИ. С ним связано изучение силы тяжести: у поверхности Земли гравитационное притяжение проявляется именно как сила, действующая на тело. Закон помогает объяснить движение планет, спутников и космических аппаратов по орбитам, а также явление невесомости в полёте.
Тема соединяет механику с астрономией, поскольку одни и те же физические правила описывают тела на Земле и движение небесных объектов. Расчёт гравитационного притяжения позволяет находить параметры орбит и оценивать движение космических аппаратов. Поэтому закон всемирного тяготения важен не только для решения учебных задач, но и для практических космических расчётов.
Почему тела малой массы тоже притягиваются, но это обычно незаметно?
Сила зависит от произведения масс, поэтому для обычных предметов она очень мала. На Земле её легко перекрывают трение и другие силы, а заметным гравитационное притяжение становится при больших массах, например у планет.
Почему в формуле расстояние возводится в квадрат?
Такова установленная опытом зависимость гравитационного взаимодействия: при удалении тел влияние одного тела распределяется в пространстве по сфере, площадь которой растёт пропорционально квадрату радиуса. Поэтому сила убывает как 1/r².
Какое расстояние нужно брать между Землёй и телом на её поверхности?
В формуле требуется расстояние между центрами тел. Для тела у поверхности Земли его считают равным радиусу Земли, если размер самого тела мал по сравнению с радиусом планеты.
Чем сила всемирного тяготения отличается от силы тяжести?
Сила всемирного тяготения описывает притяжение любых двух тел с массами. Силой тяжести обычно называют силу, с которой Земля притягивает тело около своей поверхности; это частный случай гравитационного взаимодействия.
Почему силы действия и противодействия не компенсируют друг друга?
Эти силы приложены к разным телам: одна действует на первое тело, другая — на второе. Компенсировать друг друга могут только силы, приложенные к одному телу, поэтому здесь силы изменяют движение каждого тела отдельно.
1. Закон всемирного тяготения
