"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Планеты обращаются вокруг Солнца по орбитам, которые можно описать с помощью трёх законов Кеплера. Эти законы показывают, почему орбиты имеют форму эллипсов, как меняется скорость планеты и от чего зависит продолжительность её года. Они помогают сравнивать движение планет и рассчитывать периоды обращения, а также применяются при изучении спутников и космических аппаратов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Эллиптическая орбита — траектория планеты в форме эллипса, замкнутой кривой с двумя фокусами. Солнце находится в одном из фокусов, а не в центре эллипса. Это определение помогает точно описать путь планеты и понять, почему расстояние до Солнца меняется.
Первый закон Кеплера утверждает, что планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Закон нужен, чтобы задавать форму орбиты и положение Солнца относительно неё. Чем больше вытянута орбита, тем заметнее она отличается от окружности.
Второй закон Кеплера: радиус-вектор планеты за равные промежутки времени заметает равные площади. Радиус-вектор — отрезок от Солнца до планеты; заметённая площадь — область, которую этот отрезок описывает при движении. Закон позволяет сравнивать скорость планеты на разных участках орбиты.
Третий закон Кеплера связывает периоды обращения планет с большими полуосями их орбит: квадраты периодов относятся как кубы больших полуосей. Период T — время одного полного оборота, большая полуось a — половина наибольшего диаметра эллипса. Эта связь нужна для сравнения орбит и расчёта неизвестного периода или размера орбиты.
Долгие наблюдения за положением планет позволили установить, что их движение подчиняется повторяющимся закономерностям. Положение планеты на небе меняется, поэтому астрономы сопоставляли наблюдения, сделанные в разные моменты времени. Так удалось не только описать, где находятся планеты, но и математически задать их орбиты. Законы Кеплера обобщили эти данные в правила, применимые ко всем планетам Солнечной системы.
Орбита в общем случае не круговая, а эллиптическая, поэтому расстояние от планеты до Солнца в течение года меняется. На ближайшем участке планета находится в перигелии, а на наиболее удалённом — в афелии. Эти названия указывают не на отдельный вид движения, а на два крайних положения планеты на орбите. Если орбита почти круговая, разница расстояний невелика, но в точном описании всё равно учитывают её эллиптическую форму.
Второй закон объясняет, почему движение планеты неравномерно: скорость у Солнца больше, а вдали от него меньше. За одно и то же время радиус-вектор должен заметать одинаковую площадь на любом участке орбиты. Вблизи Солнца этот отрезок короче, поэтому планета проходит по орбите больший участок, чтобы заметённая площадь не уменьшилась. На удалённом участке радиус-вектор длиннее, и для той же площади планете достаточно пройти меньший участок.
Третий закон показывает, как размер орбиты связан с продолжительностью планетного года. Чем больше большая полуось, тем больше путь, который планете нужно пройти за оборот; кроме того, скорость её движения в среднем меньше. Поэтому удалённые от Солнца планеты обращаются дольше. Для двух планет можно записать T₁²/T₂² = a₁³/a₂³, где T обозначает период обращения, а a — большую полуось орбиты.
Для планет, обращающихся вокруг одного Солнца, отношение T²/a³ имеет одно и то же значение. Это удобная форма третьего закона: зная период и большую полуось одной планеты, можно рассчитать соответствующую величину для другой. Если период выражен в земных годах, а большая полуось — в астрономических единицах, для планет Солнечной системы получается T² = a³. Астрономическая единица примерно равна средней дистанции от Земли до Солнца.
| Закон | Формулировка | Следствие или применение |
|---|---|---|
| Первый закон | Планета движется по эллипсу; Солнце находится в одном из его фокусов. | Можно определить форму орбиты и положение Солнца. |
| Второй закон | Радиус-вектор за равные промежутки времени заметает равные площади. | Скорость больше у Солнца и меньше вдали от него. |
| Третий закон | Квадраты периодов относятся как кубы больших полуосей: T₁²/T₂² = a₁³/a₂³. | Можно находить период или размер орбиты по данным о другой планете. |
| Обозначения периода и большой полуоси | T — время полного оборота; a — половина большой оси эллипса. | Именно a, а не вся большая ось, входит в третий закон. |
| Связь периода с расстоянием до Солнца | Для планет вокруг одного Солнца величина T²/a³ одинакова. | Чем больше большая полуось, тем дольше период обращения. |
Сначала определите, какой закон описывает условие: форму орбиты, скорость на её участке или связь периода с размером. Для сравнения двух планет удобно подставлять их величины в отношение из третьего закона, чтобы одинаковые постоянные сократились. Проверяйте, что в расчёте используется большая полуось, а не большая ось целиком.
Условие. Нужно объяснить, почему планета движется по эллипсу, а не по окружности, и указать положение Солнца относительно орбиты. В условии не приведены числовые данные, поэтому требуется применить закономерность, описывающую форму пути. Важно не смешивать центр эллипса с его фокусом.
Ответ. Планета движется по эллиптической орбите согласно первому закону Кеплера. Солнце расположено в одном из фокусов, а не в центре эллипса.
Условие. Планета проходит участок орбиты ближе к Солнцу; нужно сравнить её скорость со скоростью на удалённом участке. Времена движения для сравнения берут равными. Используем второй закон Кеплера, который связывает движение планеты с площадями, заметёнными радиусом-вектором.
Ответ. Ближе к Солнцу планета движется быстрее, чем на удалённом участке орбиты. Это следует из равенства площадей, заметённых за равные времена.
Условие. Большая полуось орбиты одной планеты в четыре раза больше большой полуоси другой. Найдём отношение их периодов обращения вокруг Солнца. Обозначим большую полуось первой планеты a₁, второй — a₂, а периоды — T₁ и T₂, причём a₁ = 4a₂.
Ответ. Период планеты с большой полуосью в четыре раза больше также в восемь раз больше: T₁/T₂ = 8.
Ошибка: считать орбиту окружностью с Солнцем в центре. Так могут рассуждать, потому что многие орбиты выглядят почти круглыми на схеме. Первый закон указывает, что орбита — эллипс, а Солнце находится в его фокусе. Проверьте себя: называйте отдельно форму орбиты и положение Солнца относительно центра.
Ошибка: подставлять в третий закон большую ось вместо большой полуоси. Эти величины отличаются в два раза, поэтому такая подстановка меняет результат. Путаница возникает из-за похожих названий. Проверьте обозначения: если большая ось равна 2a, в формулу входит именно a.
Ошибка: считать скорость постоянной на всей орбите. Такое предположение может показаться естественным, если представить движение как равномерное обращение по окружности. Второй закон Кеплера показывает, что скорость меняется: у Солнца она больше, вдали от него меньше. Для самопроверки сравните участки, пройденные за равные промежутки времени.
Ошибка: считать период прямо пропорциональным большой полуоси. Возможно, так думают, потому что с увеличением орбиты увеличивается длина пути. Но третий закон связывает квадрат периода с кубом большой полуоси, а не сами величины напрямую. Проверяйте запись: T₁²/T₂² = a₁³/a₂³.
Для изучения законов Кеплера нужно знать свойства эллипса: что такое фокусы и большая полуось, а также уметь сравнивать отношения величин. Эти законы связаны с законом всемирного тяготения Ньютона: он объясняет, почему движение небесных тел подчиняется таким закономерностям. Законы Кеплера применяют и при изучении спутников и космических аппаратов. Для расчётов полезно помнить период обращения Земли и знать астрономическую единицу — единицу расстояния в Солнечной системе.
Почему Солнце находится не в центре орбиты планеты?
По первому закону Кеплера орбита планеты — эллипс, а Солнце расположено в одном из его фокусов. Центр эллипса и фокус — разные точки; они совпадают только в предельном случае окружности.
Движутся ли все планеты по эллипсам одинаковой формы?
Нет, эллипсы планет отличаются размерами и формой. Например, у почти круговой орбиты фокусы близки к центру, а у более вытянутой эллиптической орбиты различие заметнее.
Почему планета ускоряется, приближаясь к Солнцу?
Это следует из второго закона Кеплера: за равные промежутки времени радиус-вектор заметает равные площади. Когда планета ближе к Солнцу, радиус-вектор короче, поэтому для заметания такой же площади планета должна пройти больший путь за то же время.
Что именно сравнивают в третьем законе Кеплера?
Для планет, обращающихся вокруг одного Солнца, сравнивают квадраты периодов обращения и кубы больших полуосей орбит. Отношения T₁²/T₂² и a₁³/a₂³ равны.
Можно ли с помощью законов Кеплера найти период обращения планеты?
Да, если известен период другой планеты и отношение больших полуосей, можно применить третий закон Кеплера. Для планет Солнечной системы при измерении периода в земных годах, а большой полуоси в астрономических единицах выполняется T² = a³.
2. Движение планет вокруг солнца
