"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Формула закона всемирного тяготения связывает силу притяжения с массами тел и расстоянием между ними. Точно она описывает взаимодействие материальных точек, но при подходящих условиях её можно применять и к протяжённым телам. Для этого нужно сравнить их размеры с расстоянием, учесть форму и распределение массы. В частности, вне однородного шара его притяжение рассчитывают так, будто масса сосредоточена в центре. Правильный выбор модели и расстояния r помогает избежать ошибок в задачах о планетах и спутниках.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Материальная точка — модель тела, размерами которого в данной задаче можно пренебречь; его массу считают сосредоточенной в одной точке. Это не означает, что тело всегда мало: важны условия конкретной задачи. Такая модель позволяет заменить сложное тело точкой и применять к нему простые формулы.
Закон всемирного тяготения утверждает, что сила притяжения двух материальных точек пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: F = Gm₁m₂/r². Здесь F — модуль силы, а r — расстояние между точками, в которых сосредоточены массы. Формула помогает вычислить гравитационное взаимодействие, если модель точек подходит.
Гравитационная постоянная G — коэффициент в формуле закона всемирного тяготения, одинаковый для любых тел. Её значение приблизительно равно 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Постоянная задаёт масштаб гравитационного взаимодействия и обеспечивает согласование единиц в формуле.
Однородный шар — тело, плотность которого одинакова во всех точках. Вне такого шара его гравитационное действие описывается так, как если бы вся масса была сосредоточена в центре. Это свойство позволяет рассчитывать притяжение шара, не разбивая его на отдельные части.
Формула закона тяготения непосредственно относится к материальным точкам, потому что в ней каждому телу сопоставлены одна масса и одно положение. Расстояние r тогда однозначно измеряется между этими положениями. У протяжённого тела разные части находятся на разных расстояниях от другого тела и могут притягивать его неодинаково. Поэтому для применения формулы к такому телу нужно сначала обосновать, что его можно заменить точкой или особой симметричной моделью.
Если размеры тел намного меньше расстояния между ними, расстояния от разных частей одного тела до другого почти одинаковы. Поэтому суммарное действие этих частей можно приближённо представить как действие массы, собранной в одной точке. Чем меньше размеры тел относительно расстояния, тем слабее различаются эти расстояния и тем точнее приближение. Если же тела сравнимы по размеру с промежутком между ними, такое упрощение может дать заметную ошибку.
Для однородного шара вне его поверхности формула с массой, помещённой в центре, даёт точный результат. Это связано со сферической симметрией: распределение массы одинаково во всех направлениях, и притяжение частей шара в сумме имеет такое же внешнее действие, как центральная точечная масса. Расстояние r в этом случае измеряют именно от центра шара. То же правило применимо к сферически симметричным телам, даже если их плотность меняется с расстоянием от центра.
Для тела произвольной формы единого центра, в котором можно безусловно сосредоточить всю массу, может быть недостаточно. Близкие части тел притягиваются сильнее удалённых, поэтому итоговая сила зависит от того, где именно расположена масса. Для точного расчёта действие частей тела учитывают отдельно, а для приближённого выбирают модель, подходящую к геометрии задачи. Одного расстояния между центрами недостаточно, если не доказано, что такая замена допустима.
Если тела сложной формы расположены близко или частично перекрываются, разные их участки могут находиться на существенно разных расстояниях друг от друга. Нельзя в общем случае заменить каждое тело точечной массой в центре и получить правильную силу. Перекрытие тоже не устраняет влияния распределения массы: близкие части продолжают вносить свой вклад в притяжение. Здесь требуется учитывать геометрию и распределение масс либо использовать специальную модель.
| Ситуация | Как моделировать тела | Как выбирать r | Применимость формулы |
|---|---|---|---|
| Два тела малы по сравнению с расстоянием между ними | Как материальные точки | Между точками, в которых сосредоточены массы | Приближённо; точность растёт, когда размеры меньше относительно расстояния |
| Два однородных шара не соприкасаются | Как точечные массы в центрах шаров | Между центрами шаров | Можно применять; для шаров это точное описание их взаимного притяжения |
| Тело и точечное тело вне сферически симметричного тела | Сферически симметричное тело заменить массой в центре | От центра сферически симметричного тела до точечного тела | Можно применять для внешнего гравитационного действия |
| Протяжённые тела произвольной формы находятся близко | Учитывать форму и распределение массы, не заменять без проверки точками | Одного расстояния между центрами недостаточно | В общем случае формула для двух точечных масс неприменима |
Сначала определите форму тел и сравните их размеры с расстоянием между ними. Затем решите, допустима ли замена точками или можно воспользоваться свойством сферической симметрии. После этого выбирайте r по выбранной модели, а не по удобству измерения.
Два небольших спутника массами m₁ и m₂ находятся на расстоянии r друг от друга. Нужно определить, можно ли найти силу притяжения по формуле закона всемирного тяготения. В условии не указаны размеры спутников, поэтому одного значения r недостаточно для безусловного ответа. Проверим, какое сравнение нужно выполнить.
Ответ: формулу можно применять приближённо, если размеры обоих спутников намного меньше r. Для окончательного решения нужно сравнить размеры спутников с расстоянием между ними.
Найти силу притяжения между Землёй массой M и спутником массой m на высоте h над поверхностью Земли радиуса R. Земля — протяжённое тело, но её можно рассматривать как сферически симметричное тело для внешнего поля. Значит, её массу допустимо заменить точечной массой в центре. Осталось правильно определить расстояние между этой точкой и спутником.
Ответ: F = GMm/(R + h)². Расстояние берётся от центра Земли, поскольку именно в нём находится точечная масса, моделирующая её внешнее гравитационное действие.
Два неоднородных тела сложной формы расположены близко друг к другу. Можно ли вычислить силу притяжения, считая их массы сосредоточенными в центрах масс? Центр масс помогает описать положение тела и движение системы, но сам по себе не гарантирует, что тело можно заменить точечной массой при расчёте силы. Проверим применимость модели.
Ответ: в общем случае нельзя. Одной формулы для двух точечных масс в центрах масс недостаточно, поскольку существенны форма тел и распределение массы.
Подстановка расстояния между поверхностями вместо r — распространённая ошибка: такое расстояние удобно измерять, но формула требует расстояния между точечными массами или центрами сфер. Её допускают, забывая, как именно представлены тела в модели. Проверьте себя: если дан промежуток между поверхностями двух шаров, добавьте радиусы шаров, чтобы найти расстояние между центрами.
Нельзя считать любое протяжённое тело материальной точкой, не сравнив его размеры с расстоянием до другого тела. Упрощение кажется удобным, но точность зависит от соотношения этих величин. Перед расчётом оцените размеры тел и расстояние между ними: если размеры не малы, точечная модель требует дополнительного обоснования.
Формула для двух точечных масс не всегда подходит близким телам произвольной формы. Ошибка возникает, когда считают, что достаточно знать только массы и положение центров, хотя распределение массы влияет на притяжение. Проверьте, есть ли у тел нужная симметрия или существенно ли меньше их размеры, чем расстояние между ними. Если ни одно условие не выполняется, одной формулы недостаточно.
Для спутника над планетой ошибочно брать r = h. Высота h отсчитывается от поверхности, а в модели сферически симметричной планеты масса находится в центре. Поэтому к высоте нужно прибавить радиус планеты: r = R + h. Самопроверка проста: расстояние от центра планеты до спутника должно быть больше радиуса планеты.
Чтобы разбираться в применимости закона тяготения, нужно знать саму формулу, понимать смысл массы и расстояния между телами и уметь пользоваться моделью материальной точки. Эти понятия помогают решить, какие особенности реального тела можно не учитывать. При выборе модели полезно также представлять, как расстояние и распределение массы влияют на силу.
Тема пригодится при расчётах притяжения планет и спутников и при изучении гравитационного поля небесных тел. Например, она помогает определить расстояние до спутника от центра планеты и понять, когда планету можно представить точечной массой. Верный выбор модели позволяет применять закон тяготения осмысленно, а не только подставлять данные в формулу.
Почему в формуле закона всемирного тяготения тела считают материальными точками?
Формула F = Gm₁m₂/r² непосредственно описывает притяжение двух точек, в которых сосредоточены массы. Если размеры тел малы по сравнению с расстоянием между ними, их можно приближённо заменить такими точками.
Когда Землю можно считать материальной точкой?
В задачах, где расстояния до рассматриваемого тела намного больше размеров Земли, её можно приближённо считать материальной точкой. Для спутника у поверхности Земли используют другое обоснование: вне сферически симметричной Земли её поле такое же, как у точечной массы в центре.
Почему расстояние до спутника отсчитывают от центра Земли?
Для внешнего гравитационного действия сферически симметричную Землю можно заменить точечной массой в её центре. Поэтому при высоте спутника h и радиусе Земли R расстояние равно r = R + h, а не просто h.
Можно ли применять формулу закона всемирного тяготения к двум шарам?
Для двух однородных непересекающихся шаров силу можно вычислить по формуле для точечных масс, расположенных в их центрах. В формулу подставляют расстояние между центрами, а не между поверхностями.
Что делать, если тела большие и расположены близко друг к другу?
Если тела имеют сложную форму или неоднородно распределённую массу, одной формулы с расстоянием между центрами может быть недостаточно. Нужно учитывать притяжение отдельных частей тел или использовать подходящую модель и методы расчёта.
3. Условия применимости формулы для закона всемирного тяготения
