3. Условия применимости формулы для закона всемирного тяготения

Определения и обозначения

Материальная точка — модель тела, размерами и формой которого в задаче можно пренебречь. Считают, что вся масса тела сосредоточена в одной точке. Такая модель упрощает расчёт движения и взаимодействия.

Центр масс — точка, в которой условно сосредоточивают массу тела при описании его движения. Для однородного симметричного тела она обычно совпадает с геометрическим центром. При замене тела материальной точкой именно центр масс выбирают точкой приложения модели.

Сферически симметричное тело — тело, распределение массы которого одинаково во всех направлениях относительно общего центра. Примерами могут быть однородный шар, сферическая оболочка или тело с концентрическими слоями плотности. Такая симметрия позволяет упростить расчёт его внешнего притяжения.

Закон всемирного тяготения утверждает: две материальные точки притягиваются с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Сила направлена вдоль линии, соединяющей точки. Этот закон используют после проверки, можно ли считать реальные тела точками или сферически симметричными объектами.

Как это устроено

Закон всемирного тяготения записывают так: F = Gm₁m₂/r², где G — гравитационная постоянная, m₁ и m₂ — массы тел, а r — расстояние между точками, в которых сосредоточены эти массы. Для материальных точек эти положения заданы однозначно. Поэтому нельзя подставлять вместо r произвольное расстояние между краями тел.

Если размеры тел намного меньше расстояния между ними, части каждого тела находятся почти на одинаковом расстоянии от частей другого. Различием этих расстояний можно пренебречь, и результат почти не изменится, если всю массу перенести в одну точку. Так протяжённые тела заменяют материальными точками, а r берут между выбранными точками сосредоточения масс.

У сферически симметричного тела притяжение отдельных частей складывается особым образом: вклады, направленные в разные стороны, взаимно компенсируются. Для внешней точки остаётся такой же результат, как от точечной массы, равной массе всего тела и расположенной в его центре. Поэтому Землю при расчёте движения спутника можно заменить точкой в центре Земли.

Для близких протяжённых тел произвольной формы расстояния между их частями сильно различаются. Ближайшие участки притягиваются заметно сильнее дальних, поскольку сила зависит от 1/r². Поэтому расстояние между центрами не описывает взаимодействие автоматически, а подстановка его в формулу требует отдельного обоснования.

Если тело неоднородно или не имеет сферической симметрии, массу мысленно разделяют на малые части и учитывают притяжение каждой пары частей. В общем случае это приводит к суммированию или интегрированию вкладов, а не к одной простой подстановке. Формула для двух точек тогда может использоваться только как приближённая оценка, если погрешность такого приближения допустима.

Когда можно применять формулу закона всемирного тяготения напрямую

Сначала определите размеры тел и расстояние между ними, затем проверьте форму и распределение массы. Если выполнено условие точечной модели или сферической симметрии, расстояние в формуле выбирают соответственно этой модели.

Если условия не выполнены, результат может быть лишь оценкой. В решении нужно прямо указать, почему приближение допустимо или почему требуется более подробный расчёт.

Разбор задач

Задача 1

Условие: две небольшие сферические металлические детали массами 2 кг и 5 кг находятся на расстоянии 0,4 м друг от друга. Найти силу их притяжения. Размеры деталей считаем намного меньше расстояния между ними.

1. Проверяем модель: детали малы по сравнению с расстоянием, поэтому их можно считать материальными точками.
2. Записываем закон: F = Gm₁m₂/r².
3. Подставляем значения: F = 6,67·10⁻¹¹ · 2 · 5 / 0,4² ≈ 4,2·10⁻⁹ Н.

Ответ: сила притяжения деталей примерно равна 4,2·10⁻⁹ Н. В формулу подставлено расстояние между точками, заменяющими детали.

Задача 2

Условие: найти силу притяжения между Землёй и спутником, если известны их массы и расстояние от спутника до центра Земли.

1. Землю считаем сферически симметричным телом, а спутник — материальной точкой.
2. Спутник находится вне Земли, поэтому массу Земли можно условно сосредоточить в её центре.
3. Используем формулу F = GMm/r², где M — масса Земли, m — масса спутника, а r — расстояние от центра Земли до спутника.

Ответ: силу находят по формуле F = GMm/r². Расстояние до поверхности Земли подставлять вместо r нельзя, если спутник находится на высоте над поверхностью.

Задача 3

Условие: два протяжённых тела неправильной формы расположены близко, а промежуток между их поверхностями мал по сравнению с размерами тел. Можно ли найти силу, подставив массы и расстояние между центрами?

1. Сравниваем размеры: они не малы относительно расстояния между телами, значит, точечная модель не следует автоматически.
2. Учитываем форму: тела неправильные и не обладают сферической симметрией, поэтому их массы нельзя без доказательства сосредоточить в центрах.
3. Делаем вывод: нужно учитывать притяжение отдельных частей либо отдельно оценить погрешность приближения центрами.

Ответ: напрямую применять формулу нельзя. Расчёт через центры допустим только после дополнительного обоснования и должен быть обозначен как приближённый.

Типичные ошибки

Расстояние между поверхностями принимают за r. Так поступают, потому что именно этот промежуток легко измерить, но в точечной модели важны положения сосредоточенных масс. Проверьте, где находятся модельные точки: для сферически симметричных тел это центры.

Любое протяжённое тело без проверки заменяют материальной точкой. Ошибка возникает из-за привычки применять знакомую формулу ко всем телам подряд. Сравните характерный размер тела с расстоянием между телами: он должен быть намного меньше.

Правило о точечной массе в центре переносят внутрь сферического тела. Внешнее поле и внутреннее поле устроены по-разному, поэтому такая замена внутри не работает. Проверьте, находится ли рассматриваемая точка вне поверхности тела.

Считают, что одной сферической формы достаточно. Однако масса может быть распределена внутри несимметрично, и тогда внешнее действие не обязано совпадать с действием точечной массы в центре. Нужно проверять не только форму, но и симметрию распределения массы.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать формулу закона всемирного тяготения, смысл масс, расстояния и гравитационной постоянной, а также понятие материальной точки. Без этого невозможно проверить, что именно означает каждая величина в расчёте.

Тема опирается на модели тела и центра масс. Она также связана с мысленным разбиением реального тела на части, потому что точный расчёт сложного взаимодействия складывается из вкладов этих частей.

Условия применимости понадобятся при изучении гравитационного поля, движения планет и спутников. Они помогают понимать, где физическая формула даёт точный результат, а где является только приближённой моделью.

Что запомнить

• Формула закона всемирного тяготения непосредственно описывает взаимодействие материальных точек.
• Протяжённые тела можно считать материальными точками, если их размеры малы по сравнению с расстоянием между ними.
• Вне сферически симметричного тела его гравитационное действие эквивалентно действию точечной массы в центре.
• Для двух сферически симметричных тел вне их поверхностей расстояние в формуле — расстояние между центрами.
• Для близких тел произвольной формы нужно учитывать распределение массы.
• Любое упрощение модели требует проверки условий его применимости.