4. Сила тяжести и закон всемирного тяготения

Определения и обозначения

Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает тело; её обозначают Fт. У поверхности Земли она направлена вертикально вниз, то есть к центру планеты. Это частный случай гравитационного взаимодействия, поэтому сила тяжести помогает описывать падение тел и находить действующую на них силу.

Закон всемирного тяготения определяет силу притяжения любых двух тел с массами m₁ и m₂. В формуле учитывают расстояние между центрами тел, а не между их поверхностями. Закон позволяет сравнивать притяжение планет, спутников и обычных предметов.

Гравитационная постоянная G — универсальная физическая константа, входящая в формулу силы тяготения. Её значение приблизительно равно 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Благодаря этой постоянной можно вычислять силу взаимодействия тел, если известны их массы и расстояние между центрами.

Ускорение свободного падения g — ускорение тела, движущегося только под действием силы тяжести. У поверхности Земли силу тяжести записывают как Fт = mg, где m — масса тела, а g ≈ 9,8 Н/кг, или 9,8 м/с². Эта связь нужна, чтобы переходить от массы тела к силе, действующей на него.

Как это устроено

Всякое тело с массой создаёт вокруг себя гравитационное поле — область, в которой на другие тела действует притяжение. Масса характеризует способность тела участвовать в таком взаимодействии, поэтому притягиваются и Земля с Луной, и любые два небольших предмета. В повседневной жизни притяжение малых предметов незаметно: оно гораздо слабее земного притяжения. Гравитационное поле удобно описывать силой, действующей на помещённое в него тело.

Закон всемирного тяготения записывается так: F = Gm₁m₂/r². Произведение масс показывает, что при увеличении любой из них сила возрастает прямо пропорционально: например, удвоение одной массы удваивает силу. Расстояние r стоит в знаменателе в квадрате, поэтому увеличение расстояния в два раза уменьшает силу в четыре раза. В расчётах r измеряют между центрами тел; для шарообразных тел их можно считать сосредоточенными в центрах.

У поверхности Земли Земля притягивает тело с силой Fт = GMm/R², где M — масса Земли, R — её радиус, m — масса тела. По второму закону Ньютона сила, сообщающая телу ускорение, равна ma; при свободном падении это ускорение обозначают g. Приравнивая выражения для силы, получаем GMm/R² = mg, а после сокращения m — g = GM/R². Так становится понятно, почему у поверхности Земли Fт = mg и откуда берётся значение g.

Направление силы задаётся расположением притягивающих тел: Земля тянет тело к своему центру. На небольшом участке земной поверхности направление к центру почти совпадает с вертикалью, поэтому говорят, что сила тяжести направлена вертикально вниз. Но для тела далеко от поверхности или возле другого небесного тела ориентироваться нужно именно на центр этого тела. Вертикаль — удобное приближение для задач у поверхности Земли, а не общее направление гравитационной силы.

На расстоянии r от центра Земли ускорение свободного падения равно g = GM/r². При удалении от центра знаменатель растёт, поэтому g и сила тяжести для тела данной массы уменьшаются; на высоте h над поверхностью r = R + h. Масса самого падающего тела сокращается при выводе g = GM/r², поэтому она не определяет ускорение. Значение g зависит от массы притягивающего небесного тела и расстояния до его центра, а значит, различается на планетах и на разных высотах.

Силы тяготения и связанные с ними величины

Сначала определите, какую величину требуется найти, и выберите соответствующую строку. Проверьте, что массы выражены в килограммах, расстояние — в метрах, а для силы между телами взято расстояние между их центрами. Формула g = GM/R² относится к поверхности Земли, а при высоте нужно подставлять расстояние от центра R + h.

Разбор задач

Сила тяжести для тела массой 5 кг

Условие: масса тела m = 5 кг, ускорение свободного падения g = 9,8 Н/кг. Нужно определить силу тяжести у поверхности Земли и указать её направление. Поскольку известны масса и g, используем формулу Fт = mg.

1. Записываем формулу: Fт = mg.
2. Подставляем значения: Fт = 5 кг · 9,8 Н/кг = 49 Н. Килограммы сокращаются с килограммами в знаменателе единицы g, поэтому результат измеряется в ньютонах.
3. Указываем направление: сила направлена вертикально вниз, к центру Земли.

Ответ: Fт = 49 Н, вертикально вниз.

Сила притяжения двух тел

Условие: m₁ = 1000 кг, m₂ = 2000 кг, расстояние между телами r = 10 м. Предполагаем, что указано расстояние между их центрами, и используем закон всемирного тяготения. Значение G берём в единицах СИ: 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².

1. Записываем закон: F = Gm₁m₂/r².
2. Подставляем данные: F = 6,67·10⁻¹¹ · 1000 · 2000 / 10² Н. Сначала учитываем квадрат расстояния: 10² = 100 м².
3. Вычисляем: F ≈ 1,33·10⁻⁶ Н. Небольшой результат показывает, почему притяжение обычных предметов трудно заметить.

Ответ: сила взаимного притяжения приблизительно равна 1,33·10⁻⁶ Н.

Высота, на которой g уменьшится в четыре раза

Условие: радиус Земли равен R, требуется найти высоту h, если gₕ = g₀/4. Используем gₕ = GM/(R + h)² и g₀ = GM/R². Масса Земли и G одинаковы в обеих формулах, поэтому при сравнении они сократятся.

1. Составляем отношение: gₕ/g₀ = R²/(R + h)² = 1/4.
2. Из равенства R²/(R + h)² = 1/4 берём положительный корень: R/(R + h) = 1/2. Расстояние до центра положительно, поэтому отрицательный корень не подходит.
3. Получаем R + h = 2R, откуда h = R. Значит, нужная высота равна радиусу Земли.

Ответ: h = R.

Типичные ошибки

Путать силу тяжести, массу и g — значит смешивать разные физические величины. Это происходит из-за того, что они связаны формулой Fт = mg, но измеряются по-разному: сила — в ньютонах, масса — в килограммах, g — в Н/кг или м/с². Перед подстановкой проверьте, что ищется в задаче и какие единицы должны быть у ответа.

Подстановка расстояния между поверхностями вместо расстояния между центрами приводит к неверной силе тяготения. Ошибку легко допустить, если тела изображены как соприкасающиеся или имеют заметные размеры. Проверьте, что в знаменателе закона стоит r между центрами; для шаров его можно найти, прибавив к промежутку между поверхностями радиусы обоих тел.

Забывать один из множителей m₁ и m₂ — значит считать притяжение зависящим только от массы одного тела. Обычно это происходит при спешке или при неверном переписывании формулы. Сверьте запись с F = Gm₁m₂/r² и мысленно проверьте: увеличение любой из масс должно увеличивать силу.

Считать g одинаковым на любой высоте и на любой планете нельзя, потому что оно зависит от массы небесного тела и расстояния до его центра. Часто значение 9,8 м/с² запоминают как универсальное, хотя оно приближённо относится к поверхности Земли. Для проверки используйте g = GM/r² и уточните, для какого небесного тела и расстояния выполняется расчёт.

Связь с другими темами

Для работы с законом тяготения нужны масса, вектор силы, ускорение и второй закон Ньютона: именно он связывает силу с ускорением. Дальше сила тяжести помогает разбирать движение падающих тел, вес и невесомость; сила тяжести и вес — не одно и то же. Закон всемирного тяготения также объясняет движение спутников и планет, а позднее пригодится при изучении орбитальной скорости, законов Кеплера и космонавтики.

Что запомнить

• Сила тяжести — частный случай силы всемирного тяготения, действующий со стороны Земли.
• Сила тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел.
• Сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел.
• У поверхности Земли сила тяжести определяется формулой Fт = mg.
• Ускорение свободного падения направлено к центру притягивающего тела.
• Значение g зависит от массы и радиуса небесного тела, но не зависит от массы падающего тела.
• При увеличении расстояния от центра Земли ускорение свободного падения уменьшается.