"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Все тела во Вселенной притягиваются друг к другу. Это взаимодействие описывает закон всемирного тяготения, а сила, с которой Земля притягивает находящееся рядом тело, называется силой тяжести. Зная массы тел и расстояние между ними, можно вычислить силу притяжения; зная массу и радиус планеты — ускорение свободного падения у её поверхности. Эти идеи помогают объяснить падение тел и движение планет и спутников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает тело; её обозначают Fтяж и направляют к центру Земли. Вблизи поверхности это направление обычно совпадает с вертикалью вниз. Понятие нужно, чтобы описывать падение тел и находить действующую на них силу.
Закон всемирного тяготения утверждает, что любые два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Чем больше массы, тем сильнее притяжение; чем дальше тела друг от друга, тем оно слабее. Закон позволяет рассчитывать гравитационное взаимодействие не только на Земле.
Гравитационная постоянная G — коэффициент в законе всемирного тяготения, одинаковый для любых тел и характеризующий интенсивность гравитационного взаимодействия. Её значение приблизительно равно 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Эта постоянная нужна, чтобы по массам и расстоянию получить силу в ньютонах.
Ускорение свободного падения — ускорение тела, движущегося под действием силы тяжести; у поверхности Земли его обозначают g. Приближённо g = 9,8 м/с², хотя значение зависит от места и от свойств небесного тела. Эта величина помогает связать воздействующую на тело силу с его массой.
Сила тяжести — частный случай гравитационного притяжения: Земля и тело притягиваются друг к другу, но обычно рассматривают силу, действующую именно на тело. Земля почти сферична, поэтому вблизи её поверхности притяжение направлено приблизительно к центру планеты. Местная вертикаль как раз задаёт это направление, поэтому говорят, что сила тяжести направлена вертикально вниз. Это приближение подходит для обычных задач у поверхности.
Если увеличить массу одного из тел, в формуле сила возрастёт во столько же раз, потому что F пропорциональна произведению масс. Удвоение обеих масс увеличит силу в четыре раза. Расстояние влияет иначе: оно стоит в знаменателе в квадрате, поэтому при увеличении расстояния притяжение ослабевает особенно быстро. Например, при удвоении расстояния сила становится в четыре раза меньше.
Закон записывают так: F = Gm₁m₂/r². Здесь F измеряется в ньютонах, массы m₁ и m₂ — в килограммах, расстояние r — в метрах, а G — в Н·м²/кг². Величина r — не промежуток между поверхностями тел, а расстояние между их центрами. Это различие особенно важно при расчётах для крупных тел.
Связь силы тяжести с ускорением даёт второй закон Ньютона: F = ma. Для тела у поверхности Земли ускорение a равно g, поэтому Fтяж = mg. Если Землю считать сферической, закон тяготения для тела массой m на её поверхности даёт Fтяж = GMЗm/RЗ². Приравнивая выражения и сокращая m, получаем g = GMЗ/RЗ².
Формула g = GM/R² показывает, почему ускорение свободного падения различается на небесных телах: оно растёт с массой планеты и уменьшается с увеличением её радиуса. При удалении от планеты расстояние до её центра становится больше, поэтому притяжение слабеет. Ускорение свободного падения также уменьшается, так как для тела той же массы сила тяжести становится меньше. Следовательно, высота над поверхностью тоже влияет на g.
| Случай | Формула | Что означают величины | Направление силы |
|---|---|---|---|
| Притяжение двух тел | F = Gm₁m₂/r² | m₁, m₂ — массы; r — расстояние между центрами; G — гравитационная постоянная | Вдоль линии центров, к другому телу |
| Тело у поверхности Земли | Fтяж = mg | m — масса тела; g — ускорение свободного падения | К центру Земли |
| Ускорение свободного падения у поверхности планеты | g = GM/R² | M — масса планеты; R — её радиус | К центру планеты |
| Зависимость силы притяжения от расстояния | F ∝ 1/r² | r — расстояние между центрами тел | Сила направлена к притягивающему телу |
Выбирайте строку по описанию ситуации: для двух тел используйте закон тяготения, для тела у поверхности — формулу Fтяж = mg. Перед подстановкой проверьте, что массы выражены в килограммах, а расстояние — в метрах. Направление силы определяйте отдельно по центру притягивающего тела.
Тело массой 2 кг находится у поверхности Земли. Найдём силу тяжести, если g = 9,8 м/с². Здесь известны масса тела и ускорение свободного падения, поэтому достаточно применить связь силы с массой. Сначала запишем формулу, затем подставим значения в единицах СИ.
Ответ: Fтяж = 19,6 Н.
Два тела массами 4 кг и 6 кг находятся на расстоянии 2 м между центрами. Запишем выражение для силы их притяжения и выясним, что произойдёт при удвоении расстояния. Массы и исходное расстояние уже заданы, поэтому подставим их в закон тяготения. Для сравнения силы после изменения расстояния достаточно учесть квадрат знаменателя.
Ответ: исходная сила равна 6G Н, а после удвоения расстояния она уменьшится в четыре раза.
Планета имеет массу M и радиус R. Выведем формулу ускорения свободного падения у её поверхности, а для заданных чисел вычисление выполним подстановкой M и R в полученную формулу. Сила притяжения тела планетой одновременно описывается законом тяготения и вторым законом Ньютона. Приравнивание этих выражений позволяет убрать массу самого тела.
Ответ: g = GM/R²; численное значение находят подстановкой заданных M и R. Без конкретных чисел можно получить только формулу, а не численный результат.
Подставлять расстояние между поверхностями тел вместо расстояния между центрами — ошибка в выборе r. Её допускают, потому что именно промежуток между поверхностями обычно легче измерить. Найдите центры тел и проверьте, что расстояние отсчитывается от центра до центра.
Считать, что при удвоении расстояния сила уменьшается вдвое, — значит забыть квадрат в знаменателе. Расстояние входит в формулу как r², поэтому удвоение знаменателя даёт увеличение его значения в четыре раза. Для проверки сравните отношения: F′/F = r²/r′².
Путать силу тяжести, массу и ускорение свободного падения нельзя: это разные физические величины. Путаница возникает из-за связи Fтяж = mg, в которой все три величины стоят рядом. Проверяйте единицы: масса измеряется в килограммах, сила — в ньютонах, ускорение — в м/с².
Направлять силу тяжести вертикально вниз при любых условиях — слишком грубое утверждение. Сила направлена к центру Земли, а вертикаль вниз совпадает с этим направлением лишь приближённо вблизи поверхности. Проверьте, рассматривается ли обычная ситуация у Земли или тело далеко от неё.
Для изучения тяготения нужны второй закон Ньютона, понятия массы, силы и ускорения, а также умение переводить величины в единицы СИ. Без этого нельзя вывести связь Fтяж = mg или правильно подставить данные в формулы. Закон тяготения затем используют при изучении движения планет и спутников, орбит и веса тел на других небесных телах. Он помогает понять, почему одно и то же тело испытывает разную силу тяжести на Земле и Луне.
Почему тела не притягиваются друг к другу заметным образом?
Гравитационное притяжение обычных предметов очень слабое, потому что их массы невелики. Поэтому в повседневной жизни его перекрывают другие силы, например трение и опора.
Почему в формуле закона всемирного тяготения расстояние возводят в квадрат?
Гравитация ослабевает с расстоянием по закону обратных квадратов: F пропорциональна 1/r². Поэтому увеличение расстояния в два раза уменьшает силу в четыре раза.
Почему расстояние в формуле измеряют между центрами тел?
В формуле r — расстояние между центрами масс тел. Для сферических тел с равномерным распределением массы их притяжение рассчитывается так, будто вся масса сосредоточена в центре.
Чем сила тяжести отличается от ускорения свободного падения?
Сила тяжести — сила, измеряемая в ньютонах, а ускорение свободного падения — ускорение, измеряемое в м/с². У поверхности Земли они связаны формулой Fтяж = mg: сила зависит ещё и от массы тела.
Будет ли сила тяжести на Луне такой же, как на Земле?
Нет, у поверхности Луны сила тяжести для того же тела меньше, поскольку ускорение свободного падения там меньше. Оно зависит от массы и радиуса небесного тела.
3. Сила тяжести и закон всемирного тяготения
