"Физика (базовый уровень)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.
Все тела притягиваются друг к другу, хотя притяжение обычных предметов почти незаметно. Закон всемирного тяготения описывает, от чего зависят сила и расстояние между телами, а сила тяжести — притяжение Земли к телу у её поверхности. Эти понятия помогают объяснить падение предметов, движение планет и спутников. Главные формулы темы: F = Gm₁m₂/r² и Fтяж = mg; ускорение свободного падения у поверхности планеты определяется её массой и радиусом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает находящиеся на её поверхности и вблизи неё тела; её обозначают Fтяж, а направлена она к центру Земли. Эта сила объясняет, почему предметы падают на землю и почему у тела есть вес при опоре. Чем больше масса тела, тем сильнее Земля его притягивает.
Закон всемирного тяготения утверждает: любые два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Закон нужен, чтобы рассчитывать притяжение не только Земли и предметов, но и планет, звёзд и спутников. Для вычисления важно знать массы обоих тел и расстояние между их центрами.
Гравитационная постоянная обозначается G и равна примерно 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Она задаёт масштаб силы в законе тяготения и одинакова для всех тел. Благодаря ей формула связывает массы и расстояние с силой, измеряемой в ньютонах.
Ускорение свободного падения обозначают g; оно связано с силой тяжести формулой Fтяж = mg, где m — масса тела. Значение g показывает, какое ускорение приобретает свободно падающее тело у поверхности планеты, если сопротивлением воздуха пренебречь. Эта запись позволяет находить силу тяжести по массе тела или, наоборот, определять ускорение.
Притяжение есть между любыми телами: например, Земля притягивает человека, а человек в ответ притягивает Землю. Однако сила между обычными предметами настолько мала, что её трудно заметить и измерить в быту. У планет и звёзд массы огромны, поэтому их гравитационное притяжение заметно влияет на движение других тел. Значит, дело не в особом свойстве Земли, а в величине масс и возможности измерить возникающую силу.
В законе тяготения массы стоят в числителе, потому что каждое тело участвует в притяжении: если увеличить одну массу в несколько раз, сила возрастёт во столько же. Увеличение обеих масс усиливает действие каждой из них, поэтому сила зависит от их произведения. Расстояние стоит в квадрате в знаменателе: по мере удаления тела притяжение ослабевает, причём быстро. Так формула описывает, почему массивные близкие тела притягиваются особенно сильно.
Для точечных тел и сферически симметричных тел закон записывается так: F = Gm₁m₂/r². Здесь r — расстояние именно между центрами тел, а не зазор между их поверхностями. Точечным можно считать тело, размеры которого малы по сравнению с расстоянием до другого тела. Для сферически симметричных тел вне их поверхности расчёт ведут так, как если бы вся масса была сосредоточена в центре.
У поверхности Земли масса Земли равна MЗ, её радиус — RЗ, а масса тела — m. Подставляя эти величины в закон тяготения, получаем Fтяж = GMЗm/RЗ²; сравнение с Fтяж = mg даёт g = GMЗ/RЗ². Масса тела сокращается, поэтому у одной и той же планеты ускорение свободного падения одинаково для тел разной массы, если не учитывать воздух. Это позволяет сначала найти g по характеристикам планеты, а затем вычислить действующую на тело силу.
Формула g = GM/R² показывает, почему на разных небесных телах ускорение свободного падения различается: большая масса увеличивает притяжение, а больший радиус означает, что поверхность находится дальше от центра. Поскольку расстояние входит в квадрате, радиус особенно заметно влияет на результат. У Земли сила тяжести направлена к её центру: именно так направлена сила притяжения к сферически симметричному телу. Вблизи поверхности направление «вниз» означает направление к центру Земли.
Сравнивайте величины по строкам: первая колонка называет характеристику, а две следующие показывают, как она относится к общему закону и к случаю у поверхности небесного тела. Сила тяжести — частный случай силы всемирного тяготения, поэтому их формулы согласуются. Для вычислений сначала выясните, какие массы и какое расстояние заданы.
| Характеристика | Сила всемирного тяготения | Сила тяжести у поверхности небесного тела |
|---|---|---|
| Какие тела взаимодействуют | Любые два тела | Небесное тело и тело вблизи его поверхности |
| Формула | F = Gm₁m₂/r² | Fтяж = GMm/R² = mg |
| Массы, от которых зависит сила | Массы обоих тел m₁ и m₂ | Масса небесного тела M и масса тела m |
| Расстояние, входящее в формулу | r — расстояние между центрами тел | R — радиус небесного тела; тело находится у поверхности |
| Направление силы | Вдоль линии центров, к притягивающему телу | К центру небесного тела |
| Связь с ускорением свободного падения | Задаёт притяжение; у поверхности g = GM/R² | Fтяж = mg, где g — ускорение свободного падения |
Задача 1. Тело массой 3 кг находится у поверхности Земли; считать g = 9,8 м/с². Найдём силу тяжести и укажем её направление. Здесь известны масса тела и ускорение свободного падения, поэтому закон всемирного тяготения применять не требуется.
Ответ: 29,4 Н, к центру Земли. Проверка единиц: кг · м/с² — это ньютон, значит, результат выражен верно.
Задача 2. Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 0,5 м между центрами. Вычислим силу притяжения. Сначала проверим единицы: массы даны в килограммах, расстояние — в метрах, то есть данные уже приведены к СИ.
Ответ: примерно 1,6 · 10⁻⁹ Н. Единицы согласуются: (Н·м²/кг²) · кг² / м² = Н. Малая сила объясняет, почему притяжение таких тел обычно незаметно.
Задача 3. Масса планеты равна 6 · 10²⁴ кг, радиус — 6 · 10⁶ м; найдём g у поверхности и сравним силу тяжести тела массой 2 кг на этой планете и на Земле, где g = 9,8 м/с². Сначала вычислим g планеты, используя её массу и радиус. Затем найдём силу для одного и того же тела на обеих планетах.
Ответ: g ≈ 11,1 м/с²; сила тяжести на планете около 22,2 Н, на Земле — 19,6 Н. На этой планете тело притягивается сильнее, потому что сочетание её массы и радиуса даёт большее значение g.
В закон тяготения иногда подставляют расстояние между поверхностями тел вместо расстояния между центрами. Так происходит, когда не учитывают, что r в формуле отсчитывают от центра масс каждого тела. Для сферических тел прибавьте к зазору радиусы обоих тел; для точечных расстояние уже дано между точками. Перед подстановкой полезно нарисовать схему и отметить центры.
Другая ошибка — забыть квадрат у r и записать F = Gm₁m₂/r. Тогда формула неверно описывает ослабление притяжения при удалении. Проверяйте не только подстановку чисел, но и вид исходной зависимости: знаменатель должен содержать r². Если расстояние увеличить вдвое, результат должен уменьшиться в четыре раза.
Иногда считают, что закон всемирного тяготения действует только между Землёй и телом. Этому способствует привычка чаще всего вычислять именно силу тяжести у поверхности Земли. Но закон описывает взаимное притяжение любых тел; Земля — лишь один из примеров. Для самопроверки назовите две массы в задаче и подставьте обе в формулу.
Силу тяжести путают с ускорением свободного падения, потому что величины связаны формулой Fтяж = mg. Сила измеряется в ньютонах и зависит от массы тела, а g измеряется в м/с² и характеризует ускорение. Проверяйте, что именно требуется найти, и выбирайте подходящие единицы. Если сравниваются тела на одной планете, у них может быть разная сила тяжести, но одинаковое g.
Для изучения темы нужны понятия силы, массы, ускорения, равнодействующей сил и единицы СИ. Связь Fтяж = mg помогает применять законы Ньютона к движению под действием силы тяжести: например, находить ускорение тела или равнодействующую сил. Закон всемирного тяготения используют при изучении движения планет и спутников, в том числе для расчёта орбит. Поэтому тема связывает механику земных тел с движением небесных объектов.
Почему мы не замечаем притяжение между обычными предметами?
Массы обычных предметов невелики, поэтому сила их взаимного притяжения очень мала. В повседневной жизни её обычно перекрывают другие силы, например трение и притяжение Земли.
Какое расстояние нужно подставлять в закон всемирного тяготения?
Нужно брать расстояние между центрами масс тел. Для сферически симметричных тел вне их поверхности это расстояние между геометрическими центрами.
Почему при увеличении расстояния в два раза сила тяготения уменьшается в четыре раза?
В формуле сила обратно пропорциональна квадрату расстояния: F ∝ 1/r². Если r увеличить вдвое, знаменатель возрастёт в четыре раза, а сила станет в четыре раза меньше.
Чем сила тяжести отличается от ускорения свободного падения?
Сила тяжести — сила, действующая на тело, и она зависит от массы этого тела: Fтяж = mg. Ускорение свободного падения g показывает, какое ускорение получает тело, и у данной планеты не зависит от массы падающего тела.
От чего зависит значение ускорения свободного падения на другой планете?
У поверхности планеты g зависит от её массы M и радиуса R: g = GM/R². При большей массе g возрастает, а при большем радиусе — уменьшается, если остальные условия не меняются.
3. Сила тяжести и закон всемирного тяготения
