4. Первая космическая скорость

Определения и обозначения

Первая космическая скорость — минимальная горизонтальная скорость у поверхности небесного тела, при которой тело становится его спутником и движется по круговой орбите. Она показывает, насколько быстро нужно запустить тело вдоль поверхности, чтобы оно не упало на неё. Обозначается v₁.

Искусственный спутник — тело, запущенное человеком и движущееся под действием притяжения небесного тела по орбите вокруг него. Спутнику не нужен отдельный двигатель для постоянного «удержания» на орбите. Это понятие помогает отличать космический аппарат от естественных спутников, например Луны.

Круговая орбита — траектория, при которой расстояние от спутника до центра небесного тела постоянно. Такой спутник движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Поэтому для расчётов используют один радиус орбиты r.

Орбитальная скорость — скорость тела, движущегося по орбите; для круговой орбиты она определяется массой небесного тела и радиусом орбиты. Чем массивнее тело и чем ближе орбита к нему, тем больше скорость. Основные обозначения: G — гравитационная постоянная, M — масса небесного тела, R — его радиус.

Как это устроено

Если горизонтально бросить предмет, он начнёт падать вниз под действием силы тяжести, но одновременно будет перемещаться вперёд. При увеличении начальной скорости он пролетит дальше, а поверхность Земли из-за кривизны сильнее отклонится вниз. При достаточно большой скорости тело будет всё время падать, но не достигнет поверхности: так возникает движение по орбите.

На спутник действует сила всемирного тяготения, направленная к центру Земли. Для движения по окружности нужна сила, направленная к центру и создающая центростремительное ускорение. Поэтому именно сила тяготения изменяет направление скорости спутника, не давая ему улететь по прямой, а не какая-то дополнительная сила «поддержки».

Для спутника массой m на круговой орбите радиуса r сила тяготения равна GMm/r², а центростремительная сила — mv²/r. Приравнивая их, получаем GMm/r² = mv²/r, откуда v = √(GM/r). У поверхности r = R, а из равенства g = GM/R² следует формула первой космической скорости: v₁ = √(GM/R) = √(gR).

Масса спутника m сокращается при преобразовании, потому что более массивный спутник испытывает пропорционально большую силу тяготения, но одновременно имеет пропорционально большую инерцию. Поэтому в одинаковых условиях все спутники на одной круговой орбите имеют одну и ту же скорость. Реальная масса аппарата влияет на другие характеристики запуска, но не на идеальную орбитальную скорость.

На высоте h над поверхностью радиус орбиты равен r = R + h. Тогда скорость равна v = √(GM/(R + h)): при увеличении r значение скорости уменьшается. Расчёт основан на идеализациях: атмосфера отсутствует, сопротивлением движению и вращением Земли пренебрегают, а орбита считается круговой.

Основные формулы и характеристики движения спутника

В таблице собраны величины, которые связывают силу тяготения, ускорение и скорость спутника. Сначала определите радиус орбиты: у поверхности это R, а на высоте h — R + h. Затем выберите формулу с известными данными и проверьте единицы измерения.

Разбор задач

Задача 1. Определить первую космическую скорость у поверхности Земли, если g = 9,8 м/с², R = 6,4·10⁶ м. Известны ускорение свободного падения и радиус Земли, поэтому удобнее применить формулу без G и M. Ответ переведём из метров в секунду в километры в секунду.

1. Запишем формулу: v₁ = √(gR).
2. Подставим значения: v₁ = √(9,8 · 6,4·10⁶) м/с ≈ √(6,272·10⁷) м/с ≈ 7,92·10³ м/с.
3. Переведём единицы: 7,92·10³ м/с = 7,92 км/с.

Ответ: v₁ ≈ 7,9 км/с. Такой результат означает, что запуск у поверхности должен сообщить телу огромную скорость в горизонтальном направлении, если не учитывать сопротивление атмосферы.

Задача 2. Найти скорость спутника на круговой орбите высотой h над поверхностью Земли, если известны масса Земли M и её радиус R. Спутник находится не на поверхности, поэтому расстояние до центра Земли равно не R, а R + h. Это расстояние подставляем в формулу орбитальной скорости.

1. Определим радиус орбиты: r = R + h.
2. Используем формулу: v = √(GM/r).
3. Получаем: v = √(GM/(R + h)).

Ответ: скорость спутника равна √(GM/(R + h)). При увеличении h знаменатель возрастает, поэтому скорость становится меньше, чем у поверхности.

Задача 3. Спутник движется по круговой орбите со скоростью 7,0 км/с. Определить радиус и высоту орбиты над поверхностью Земли по известным G, M и R. Сначала скорость переведём в СИ: v = 7000 м/с. Затем выразим радиус орбиты из формулы v = √(GM/r).

1. Возведём формулу в квадрат: v² = GM/r.
2. Выразим радиус: r = GM/v².
3. Высоту найдём вычитанием: h = r − R = GM/v² − R.

Ответ: r = GM/v², h = GM/v² − R. После подстановки числовых данных важно сохранить единицы СИ, иначе радиус и высота будут рассчитаны неверно.

Типичные ошибки

Подставляют в формулу радиус Земли вместо радиуса орбиты при движении спутника на высоте h. Ошибка возникает из-за того, что в условии часто одновременно даны R и h. Проверьте себя: расстояние в законе тяготения отсчитывается от центра Земли, поэтому r = R + h.

Считают, что спутник удерживается на орбите отдельной силой. Так происходит, если центростремительную силу воспринимают как новую разновидность силы, хотя это название результата действия направленной к центру силы. Проверьте схему: в данном случае единственной основной силой является сила тяготения.

Полагают, что первая космическая скорость зависит от массы спутника. Ошибка появляется из-за того, что масса спутника присутствует в обеих частях уравнения. Выполните сокращение m в равенстве GMm/r² = mv²/r и убедитесь, что её в итоговой формуле нет.

Путают первую космическую скорость со скоростью вертикального запуска или со второй космической. Первая относится к круговой орбите и направлена по касательной, а вторая нужна для ухода из поля тяготения. Проверьте смысл задачи: если требуется спутник, ищут первую скорость, а если полное освобождение от притяжения — вторую.

Связь с другими темами

Для вывода формулы нужны закон всемирного тяготения, второй закон Ньютона, центростремительное ускорение и свойства движения по окружности. Эти темы объясняют, откуда берётся равенство силы тяготения и центростремительной силы.

Первая космическая скорость необходима для изучения искусственных спутников и орбитального движения. На её основе удобно перейти к второй и третьей космическим скоростям, которые описывают более дальние траектории.

Знание этой скорости применяют при объяснении запусков космических аппаратов, а также движения планет и естественных спутников. Идеализированная модель помогает понять общие закономерности, даже если в реальном запуске учитываются атмосфера и вращение Земли.

Что запомнить

• Первая космическая скорость обеспечивает движение тела по круговой орбите вокруг небесного тела.
• При круговом движении сила тяготения является центростремительной силой.
• У поверхности небесного тела v₁ = √(GM/R) = √(gR).
• Первая космическая скорость не зависит от массы спутника.
• Для Земли первая космическая скорость примерно равна 7,9 км/с.
• На большей высоте круговая орбитальная скорость меньше.
• В идеализированной модели сопротивление атмосферы и вращение Земли не учитываются.