§ 18. Первая космическая скорость

Определения и обозначения

Первая космическая скорость — минимальная горизонтальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности небесного тела, чтобы оно стало его искусственным спутником и двигалось по круговой орбите. Она показывает, с какой скоростью нужно запустить тело вдоль поверхности планеты. Для Земли эта скорость примерно равна 7,9 км/с.

Круговая орбита — траектория спутника, при движении по которой расстояние до центра небесного тела остаётся постоянным. Спутник движется по окружности, а направление его скорости непрерывно меняется. Понятие нужно, чтобы отличать первую космическую скорость от скоростей на вытянутых орбитах.

Искусственный спутник Земли — тело, движущееся вокруг Земли под действием её гравитационного притяжения. Это может быть аппарат связи, метеорологический спутник или научная станция. Спутник удерживается на орбите не двигателем, а правильно выбранной скоростью и силой тяжести.

Гравитационный параметр — произведение гравитационной постоянной на массу небесного тела: GM. Он объединяет две характеристики тела, влияющие на движение спутника. Если известен гравитационный параметр, круговую скорость можно найти без отдельного вычисления силы притяжения.

Как это устроено

Спутник не перестаёт падать на Землю: сила тяжести всё время направлена к центру планеты. Но при достаточно большой горизонтальной скорости тело за время падения успевает переместиться вперёд. Поверхность Земли из-за кривизны опускается относительно прямолинейного движения спутника, поэтому тело не достигает её и продолжает обращаться по орбите.

Для круговой орбиты сила тяжести должна сообщать спутнику центростремительное ускорение. Поэтому приравниваем силу тяжести к центростремительной силе: GMm/r² = mv²/r. Масса спутника сокращается, и получается v² = GM/r, а первая космическая скорость равна v₁ = √(GM/r). Значит, скорость определяется небесным телом и радиусом орбиты, но не массой самого спутника.

У поверхности Земли можно заменить выражение GM/R² ускорением свободного падения g. Тогда GM = gR², и после подстановки в основную формулу получаем v₁ = √(gR). Здесь R — радиус Земли, то есть расстояние от её центра до поверхности. При g = 9,8 м/с² и R ≈ 6,4 · 10⁶ м результат составляет около 7,9 · 10³ м/с.

Если спутник движется выше поверхности, радиус его орбиты равен r = R + h, где h — высота. При увеличении r выражение GM/r уменьшается, поэтому круговая скорость становится меньше. Однако длина окружности растёт, а скорость снижается, поэтому период обращения T = 2πr/v₁ увеличивается.

Первая космическая скорость относится именно к круговой орбите: скорость имеет определённое значение для выбранного радиуса. Тело не удаляется от Земли навсегда, потому что его энергии недостаточно для преодоления притяжения. Для полного ухода нужна вторая космическая скорость, которая у поверхности Земли примерно в √2 раза больше первой.

Первая космическая скорость и параметры круговой орбиты

Сначала определите, что именно дано в задаче: высота орбиты или расстояние до центра тела. Если дана высота, сначала найдите r = R + h, а затем выбирайте формулу скорости. Все расстояния переводите в метры, а скорость при необходимости — из метров в секунды или наоборот.

Разбор задач

Задача 1. Скорость у поверхности Земли

Нужно определить первую космическую скорость при g = 9,8 м/с² и R = 6,4 · 10⁶ м. У поверхности Земли применяем формулу v₁ = √(gR). Полученный результат сначала будет выражен в м/с.

1. Подставим данные: v₁ = √(9,8 · 6,4 · 10⁶) м/с.
2. Вычислим произведение: 9,8 · 6,4 · 10⁶ = 6,272 · 10⁷.
3. Извлечём квадратный корень: v₁ ≈ 7,92 · 10³ м/с.
4. Переведём в километры в секунду: 7,92 · 10³ м/с ≈ 7,9 км/с.

Ответ: первая космическая скорость у поверхности Земли примерно равна 7,9 км/с. Такой результат согласуется с известным порядком величины, поэтому ошибка в единицах маловероятна.

Задача 2. Орбита на высоте 300 км

Спутник движется на высоте h = 300 км, а R и GM известны. Скорость зависит не от высоты самой по себе, а от расстояния до центра Земли. Поэтому сначала прибавляем высоту к радиусу Земли.

1. Переведём высоту: h = 300 км = 3,0 · 10⁵ м.
2. Найдём радиус орбиты: r = R + h.
3. Подставим его в формулу: v = √(GM/(R + h)).
4. Сравним с поверхностной скоростью: поскольку R + h больше R, скорость на этой орбите немного меньше 7,9 км/с.

Ответ: круговая скорость находится по формуле v = √(GM/(R + 3,0 · 10⁵ м)) и меньше скорости у поверхности. Численное значение получают после подстановки известных R и GM.

Задача 3. Радиус орбиты по скорости

Спутник имеет скорость v = 7,5 км/с, а нужно найти радиус и высоту орбиты. В формуле v = √(GM/r) неизвестный радиус находится под корнем, поэтому сначала возводим обе части в квадрат. Затем из полученного радиуса вычитаем радиус Земли.

1. Переведём скорость в СИ: v = 7,5 · 10³ м/с.
2. Возведём формулу в квадрат и выразим радиус: v² = GM/r, поэтому r = GM/v².
3. Подставим известные GM и скорость, получив r в метрах.
4. Найдём высоту: h = r − R.

Ответ: радиус орбиты равен r = GM/v², а высота над поверхностью — h = GM/v² − R. Так как 7,5 км/с меньше 7,9 км/с, орбита должна находиться выше поверхности Земли.

Типичные ошибки

Подстановка высоты вместо радиуса. В формулу v₁ = √(GM/r) нельзя подставлять h: сила притяжения зависит от расстояния до центра Земли. Ошибка возникает из-за смешения высоты над поверхностью и полного расстояния. Проверьте себя: при высоте h сначала должно появиться r = R + h.

Смешение первой и второй космических скоростей. Первая скорость создаёт круговую орбиту, а вторая нужна для ухода от гравитационного притяжения. Их путают, потому что обе связаны с космическими полётами. Спросите себя, должна ли траектория замкнуться вокруг тела или тело должно удалиться навсегда.

Представление о постоянной работе двигателя. После разгона спутник в идеализированной задаче летит только под действием силы тяжести. Двигатель нужен для запуска и коррекции орбиты, но не для непрерывного поддержания движения. Проверьте условие задачи: если сопротивлением воздуха пренебрегают, тяга обычно не требуется.

Ошибки в единицах. Радиус и высоту в формулы переводят в метры, а скорость — в м/с, если используются единицы СИ. Километры иногда оставляют без перевода, что меняет результат в тысячи раз. Перед вычислением выпишите единицы всех величин и оцените порядок ответа.

Связь с другими темами

Для вывода первой космической скорости нужны закон всемирного тяготения и второй закон Ньютона. Также используются центростремительное ускорение и формулы движения по окружности.

Знание первой космической скорости помогает понимать запуск искусственных спутников, высоту и период их орбит. По этим формулам рассчитывают движение космических аппаратов.

Следующая связанная тема — вторая космическая скорость. Кроме того, круговые орбиты связывают с законами движения планет и практическими задачами космонавтики.

Что запомнить

• Первая космическая скорость обеспечивает движение тела по круговой орбите.
• У поверхности Земли первая космическая скорость примерно равна 7,9 км/с.
• Основная формула: v₁ = √(GM/r).
• Для поверхности Земли можно использовать формулу v₁ = √(gR).
• С увеличением радиуса орбиты круговая скорость уменьшается.
• Спутник движется по орбите потому, что сила тяжести играет роль центростремительной силы.
• Первая космическая скорость меньше второй космической.