"Физика (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под ред. Орлова В.А.
Первая космическая скорость — это наименьшая горизонтальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно стало её искусственным спутником. При такой скорости тело не падает на Землю, а непрерывно движется по круговой орбите: сила тяготения сообщает ему центростремительное ускорение. В идеализированном случае без атмосферы скорость равна примерно 7,9 км/с.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Искусственный спутник Земли — тело, которое движется вокруг Земли по орбите под действием силы тяготения. Спутник может быть создан человеком и выполнять научные, навигационные или связные задачи. Это понятие нужно, чтобы отличать орбитальное движение космического аппарата от обычного полёта в атмосфере.
Орбитальное движение — движение спутника вокруг Земли, при котором сила тяготения обеспечивает центростремительное ускорение. Центростремительное ускорение направлено к центру Земли и изменяет направление скорости тела. Благодаря этому спутник движется по кривой, а не по прямой.
Первая космическая скорость — минимальная горизонтальная скорость у поверхности Земли, необходимая для движения по круговой орбите без учёта сопротивления воздуха. Она показывает, насколько быстро нужно двигаться вдоль поверхности, чтобы тело не упало на Землю. Обозначают её v₁.
Орбитальная скорость — скорость тела, движущегося по орбите; её значение зависит от расстояния до центра Земли. Радиус орбиты обозначают r, высоту над поверхностью — h, радиус Земли — R. Поэтому при движении на высоте h используют r = R + h.
Для движения по окружности телу нужно центростремительное ускорение, направленное к центру окружности. У спутника нет отдельной верёвки или опоры, которая могла бы создавать такую силу. Эту роль выполняет сила тяготения Земли, поэтому спутник постоянно отклоняется от прямолинейного пути и обращается вокруг планеты.
Силу тяготения между Землёй и спутником находят по закону всемирного тяготения: F = GMm/r². Для кругового движения нужна центростремительная сила Fцс = mv²/r. Если эти силы приравнять, получится условие орбитального движения, потому что именно притяжение Земли должно сообщать спутнику требуемое ускорение.
Приравнивание даёт GMm/r² = mv²/r. Масса спутника сокращается, и остаётся v = √(GM/r). Это означает, что скорость заданной круговой орбиты не зависит от массы аппарата: одинаково лёгкое и тяжёлое тела при одинаковом радиусе орбиты должны двигаться с одной скоростью.
У поверхности Земли радиус орбиты почти равен её радиусу R. Так как ускорение свободного падения связано с параметрами Земли формулой g = GM/R², выражение v = √(GM/R) можно переписать как v₁ = √(gR). Такая запись удобна, потому что g и R обычно известны из условий задачи или справочных данных.
Если подставить g ≈ 9,8 м/с² и R ≈ 6,4 · 10⁶ м, получится примерно 7900 м/с, или 7,9 км/с. На высоте h радиус орбиты равен R + h, поэтому скорость вычисляют по формуле v = √(GM/(R + h)). Чем дальше спутник от центра Земли, тем меньше его круговая скорость.
| Величина или соотношение | Обозначение и формула | Что означает |
|---|---|---|
| Радиус орбиты у поверхности Земли | r = R | Орбита расположена очень близко к поверхности, поэтому её радиус принимают равным радиусу Земли. |
| Ускорение свободного падения | g = GM/R² | Ускорение тела у поверхности Земли, создаваемое её притяжением. |
| Условие движения по круговой орбите | GMm/r² = mv²/r | Сила тяготения равна центростремительной силе. |
| Первая космическая скорость | v₁ = √(gR) | Минимальная горизонтальная скорость у поверхности Земли для круговой орбиты. |
| Орбитальная скорость на высоте h | v = √(GM/(R + h)) | Скорость спутника, находящегося на расстоянии R + h от центра Земли. |
| Приближённое значение первой космической скорости | v₁ ≈ 7,9 км/с | Значение для круговой орбиты у поверхности Земли в идеализированной модели. |
Сначала определите, о какой орбите идёт речь: у поверхности или на высоте h. Затем выберите формулу с нужным радиусом, причём расстояние всегда отсчитывается от центра Земли. В конце проверьте единицы: скорость можно перевести из м/с в км/с делением на 1000.
Вычислим первую космическую скорость при g = 9,8 м/с² и R = 6,4 · 10⁶ м. Дано движение у поверхности Земли, поэтому подходит формула v₁ = √(gR). Результат сначала получится в метрах в секунду.
Ответ: первая космическая скорость равна примерно 7,9 км/с. Небольшое отличие от табличного значения связано с округлением радиуса Земли и ускорения свободного падения.
Нужно вывести скорость спутника на круговой орбите радиуса r. Используем закон всемирного тяготения и формулу центростремительной силы. Масса спутника сократится, поскольку обе силы пропорциональны этой массе.
Ответ: скорость спутника на круговой орбите радиуса r равна v = √(GM/r). Из формулы видно: при увеличении r скорость уменьшается.
Спутник находится на высоте h, равной радиусу Земли R. Тогда расстояние от спутника до центра Земли равно r = R + h = 2R. Сравним общую формулу орбитальной скорости с формулой первой космической скорости у поверхности.
Ответ: скорость спутника примерно равна 5,6 км/с. Она меньше первой космической, потому что орбита расположена дальше от центра Земли.
Вертикальное направление скорости. Ошибка возникает, когда первую космическую скорость путают со скоростью запуска вверх. Для круговой орбиты скорость должна быть направлена горизонтально. Проверьте себя: в условии круговой орбиты направление вдоль поверхности, а не от Земли.
Неверное выражение силы. Иногда силу тяготения приравнивают к mv, забывая об ускорении. Для кругового движения нужна сила mv²/r, потому что ускорение равно v²/r. Проверьте наличие квадрата скорости и деления на радиус.
Высота вместо радиуса орбиты. Высота h отсчитывается от поверхности, а в законе тяготения нужен радиус r от центра Земли. Поэтому используйте r = R + h. Если в формуле стоит только h, скорее всего, допущена ошибка.
Значение 7,9 км/с на любой орбите. Это скорость только около поверхности Земли в идеализированной модели. На высоте используйте v = √(GM/r), и результат будет меньше. Проверка проста: при увеличении r скорость не должна возрастать.
Для вывода формулы нужны закон всемирного тяготения, второй закон Ньютона и формула центростремительного ускорения. Эти знания показывают, почему притяжение Земли может поддерживать орбиту.
Тема связана с движением искусственных спутников, космическими полётами и орбитами небесных тел. Те же идеи помогают объяснять, как меняются скорость и траектория тела при удалении от планеты.
Почему спутник не падает на Землю, если на него действует сила тяжести?
Спутник действительно всё время падает к Земле под действием силы тяжести. Но благодаря большой горизонтальной скорости поверхность Земли искривляется под ним, поэтому спутник не достигает её и движется по орбите.
Почему первая космическая скорость направлена горизонтально?
Горизонтальная скорость нужна, чтобы тело перемещалось вдоль поверхности Земли и постепенно огибало её. Вертикальная скорость направила бы тело вверх, но сама по себе не обеспечила бы круговое движение вокруг Земли.
Как из силы тяготения получить формулу первой космической скорости?
Для круговой орбиты силу тяготения приравнивают к центростремительной силе: GMm/r² = mv²/r. После сокращения массы спутника получают v = √(GM/r), а у поверхности Земли — v₁ = √(gR).
Почему первая космическая скорость у поверхности Земли составляет примерно 7,9 км/с?
У поверхности Земли используют g ≈ 9,8 м/с² и радиус Земли R ≈ 6,4 · 10⁶ м. Подстановка в формулу v₁ = √(gR) даёт около 7900 м/с, то есть 7,9 км/с.
Меняется ли скорость спутника, если он движется по орбите выше поверхности Земли?
Да, при увеличении радиуса орбиты скорость уменьшается по формуле v = √(GM/r). Причина в том, что дальше от центра Земли сила тяготения слабее, поэтому для кругового движения нужна меньшая скорость.
4. Первая космическая скорость
