"Физика (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под ред. Орлова В.А.
Массу Земли нельзя измерить обычными весами, но её можно вычислить по силе притяжения. Для этого используют закон всемирного тяготения и значение гравитационной постоянной G, найденное в опыте Кавендиша. Чувствительные крутильные весы позволяют измерить очень слабое взаимодействие между шарами. Сравнив силу притяжения тела к Земле с его силой тяжести, находят массу и радиус нашей планеты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Закон всемирного тяготения утверждает: любые два тела притягиваются с силой F = Gm₁m₂/r². Сила прямо пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел. Закон нужен, чтобы рассчитывать гравитационное взаимодействие планет, спутников и обычных предметов.
Гравитационная постоянная G — коэффициент в законе тяготения, одинаковый для всех тел: G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Она показывает масштаб гравитационного взаимодействия и связывает массы и расстояние с силой. Без измеренного значения G нельзя вычислить силу притяжения или массу Земли по этой формуле.
Кавендишев эксперимент — опыт, в котором Генри Кавендиш измерил притяжение между небольшими и большими свинцовыми шарами. Сила была очень мала, поэтому её определяли не напрямую, а по повороту чувствительного устройства. Результат позволил впервые найти численное значение G и оценить массу Земли.
Крутильные весы — прибор, измеряющий силу по закручиванию тонкой нити. К нити подвешено лёгкое коромысло с малыми шарами, а рядом располагают большие шары. Их притяжение поворачивает коромысло, и по углу поворота находят силу взаимодействия.
Притяжение двух обычных предметов трудно заметить, потому что их массы невелики, а G имеет очень маленькое значение. Поэтому сила получается намного меньше силы, с которой мы обычно сталкиваемся в быту. Для её обнаружения нужен прибор, который усиливает заметный поворот от действия слабой силы и не допускает лишнего трения.
В крутильных весах лёгкое коромысло подвешено на тонкой упругой нити. На его концах находятся малые свинцовые шары, а рядом с ними помещают два больших шара. Большие шары притягивают малые, поэтому коромысло поворачивается, а нить закручивается до тех пор, пока упругая сила нити не уравновесит гравитационную.
Чем сильнее притяжение, тем больше угол закручивания нити. Сначала для прибора определяют, какой момент силы соответствует определённому углу, то есть устанавливают его чувствительность. Затем по измеренному углу и характеристикам нити находят силу притяжения шаров.
Зная массы шаров, расстояние между их центрами и измеренную силу, используют формулу F = Gm₁m₂/r². Из неё выражают G = Fr²/(m₁m₂), поэтому лабораторный опыт даёт универсальную гравитационную постоянную. Именно малость силы делает эксперимент сложным, но крутильная система превращает её в измеримый поворот.
Рассмотрим тело массой m у поверхности Земли. С одной стороны, на него действует сила тяжести F = mg, а с другой — сила притяжения Земли F = GMm/R², где M — масса Земли, R — её радиус. Приравнивание этих выражений даёт g = GM/R² и позволяет найти M = gR²/G.
Так масса Земли определяется не непосредственным помещением планеты на весы, а через измеренное гравитационное взаимодействие. Поэтому опыт Кавендиша называют «взвешиванием Земли». В расчёте участвуют доступные величины: ускорение свободного падения, радиус Земли и найденная в лаборатории постоянная G.
Таблица помогает выбрать нужную формулу и проверить единицы измерения. Для тела у поверхности Земли силу можно записать двумя способами: F = mg и F = GMm/R². После их приравнивания масса тела сокращается, и получается M = gR²/G.
| Величина | Обозначение | Связь с другими величинами | Единица СИ |
|---|---|---|---|
| Сила всемирного тяготения | F | F = Gm₁m₂/r²; F = mg у поверхности Земли | Н |
| Гравитационная постоянная | G | G = Fr²/(m₁m₂) | Н·м²/кг² |
| Масса Земли | M | M = gR²/G | кг |
| Радиус Земли | R | g = GM/R² | м |
| Ускорение свободного падения у поверхности Земли | g | g = GM/R²; F = mg | м/с² |
Два шара массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 0,5 м между центрами. Найдём силу их гравитационного притяжения, используя G = 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Расстояние уже задано между центрами, поэтому дополнительно ничего вычитать не нужно.
Ответ: сила притяжения шаров примерно равна 1,6 · 10⁻⁹ Н. Такое малое значение объясняет, почему взаимодействие обычных тел незаметно без специального прибора.
На тело массой 4 кг у поверхности Земли действует сила тяжести 39,2 Н. Требуется найти g и записать его связь с массой и радиусом Земли. Начинаем с формулы силы тяжести, потому что в ней известны сила и масса тела.
Ответ: g = 9,8 м/с², а его связь с параметрами Земли выражается формулой g = GM/R². Ускорение зависит от массы планеты и расстояния до её центра, то есть у поверхности — от её радиуса.
Вычислим массу Земли по значениям G = 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг², g = 9,8 м/с² и R = 6,4 · 10⁶ м. Сначала нужно получить формулу для M из равенства сил, а затем аккуратно возвести радиус в квадрат. Все величины уже записаны в единицах СИ.
Ответ: масса Земли примерно равна 6,0 · 10²⁴ кг. Получение этого результата через лабораторное измерение G и наблюдаемую силу тяжести называют «взвешиванием Земли».
Расстояние между поверхностями шаров подставляют вместо расстояния между их центрами. Так делают, потому что в условии часто указывают промежуток между ближайшими точками тел, но закон использует расстояние r между центрами. Проверьте рисунок или условие и при необходимости прибавьте радиусы шаров.
Забывают возвести расстояние в квадрат и пишут F = Gm₁m₂/r. Ошибка возникает из-за невнимательного чтения формулы, хотя именно квадрат определяет быстрое уменьшение силы при удалении. Перед вычислением отдельно найдите r² и сравните запись с законом тяготения.
Путают G и g, поскольку обе величины связаны с притяжением. G — универсальная постоянная с единицей Н·м²/кг², а g — ускорение свободного падения, обычно 9,8 м/с² у поверхности Земли. Проверить себя можно по единицам и по смыслу: G входит в закон для любых тел, g — в формулу F = mg.
При вычислении массы Земли подставляют R вместо R² или используют радиус в километрах. Это меняет результат в тысячи и даже миллионы раз. Возведите радиус в квадрат, переведите его в метры и проверьте, что итоговая единица равна килограмму.
Для этой темы нужны формулы силы тяжести F = mg и ускорения свободного падения, а также навыки работы с массой и расстоянием в СИ. Эти знания позволяют перейти от знакомой силы тяжести к общему закону притяжения тел.
Закон всемирного тяготения используется при изучении движения планет, спутников и космических аппаратов. Масса Земли нужна в задачах о её гравитационном поле и движении тел около планеты.
Почему притяжение между обычными предметами незаметно?
Массы обычных предметов невелики, поэтому сила их взаимного притяжения чрезвычайно мала. Её трудно обнаружить без очень чувствительного прибора.
Как крутильные весы показывают силу притяжения?
Большие шары притягивают малые и поворачивают коромысло, подвешенное на тонкой нити. По углу закручивания нити, если известны её свойства, определяют действующую силу.
Почему в законе всемирного тяготения берут расстояние между центрами тел?
Для шарообразных тел их притяжение можно считать таким, будто вся масса сосредоточена в центре. Поэтому расстояние в формуле измеряют между центрами шаров, а не между ближайшими поверхностями.
Чем гравитационная постоянная G отличается от ускорения свободного падения g?
G — универсальная постоянная закона тяготения, одинаковая для любых тел: G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². g — ускорение свободного падения возле конкретной планеты; у поверхности Земли оно примерно равно 9,8 м/с².
Как по лабораторному опыту можно найти массу Земли?
Опыт Кавендиша даёт значение G. Затем равенство GMm/R² = mg позволяет выразить массу Земли: M = gR²/G.
5. «Взвешивание Земли»
