"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Первая космическая скорость — минимальная горизонтальная скорость, с которой тело у поверхности Земли может двигаться по круговой орбите и стать её искусственным спутником. Её значение определяется массой и радиусом Земли, а не массой самого тела. В идеализированной модели скорость равна примерно 7,9 км/с. Понимание этой величины помогает объяснить движение спутников и рассчитывать скорости на орбитах разной высоты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Гравитационная сила — сила притяжения Земли, действующая на тело массой m на расстоянии r от её центра: F = GMm/r². Здесь G — гравитационная постоянная, а M — масса Земли. Эта формула позволяет определить, насколько сильно Земля притягивает тело на заданном расстоянии.
Центростремительное ускорение — ускорение тела при движении по окружности, направленное к её центру. Для круговой орбиты его модуль равен a = v²/r, где v — скорость, а r — радиус окружности. Это ускорение показывает, почему направление скорости спутника непрерывно меняется.
Искусственный спутник Земли — тело, которое движется вокруг Земли под действием её притяжения. В простейшей модели считают, что его орбита круговая и спутник не испытывает сопротивления воздуха. Такое описание помогает связать движение спутника с законами Ньютона.
Первая космическая скорость — минимальная горизонтальная скорость у поверхности Земли, при которой тело становится спутником на круговой орбите. Её рассчитывают для идеальных условий, считая Землю сферической и не учитывая атмосферу. Эта величина нужна, чтобы оценить скорость орбитального движения около Земли.
На спутник, движущийся по круговой орбите, действует сила притяжения Земли, направленная к её центру. Для кругового движения телу необходимо ускорение в ту же сторону — центростремительное. Поэтому именно гравитация изменяет направление скорости спутника и удерживает его на орбите. Если бы притяжения не было, спутник двигался бы по прямой, а не огибал Землю.
По второму закону Ньютона сила равна массе тела, умноженной на ускорение: F = ma. Для спутника гравитационная сила равна GMm/r², а центростремительное ускорение — v²/r. Приравняв силу тяготения произведению массы на это ускорение, получаем GMm/r² = mv²/r. Масса m присутствует с обеих сторон и сокращается, поэтому орбитальная скорость не определяется массой спутника.
После сокращения массы и преобразования равенства получается v² = GM/r, откуда v = √(GM/r). Здесь r измеряют от центра Земли, а не от её поверхности. При увеличении r гравитационное притяжение становится слабее, поэтому для кругового движения требуется меньшая скорость. Например, спутник на более высокой круговой орбите движется медленнее, чем на низкой.
Для орбиты непосредственно у поверхности принимают r ≈ R, где R — радиус Земли. Из формулы ускорения свободного падения у поверхности g = GM/R² следует GM = gR². Подстановка даёт v₁ = √(GM/R) = √(gR); при g = 9,8 м/с² и R ≈ 6,4·10⁶ м получается около 7,9 км/с. Это и есть первая космическая скорость в принятой модели.
Расчёт предполагает, что атмосфера не тормозит тело, Земля не вращается и её гравитационное поле можно считать однородным по направлению и простым по распределению. В действительности сопротивление воздуха меняет скорость, а вращение Земли и неоднородность поля влияют на запуск и движение аппарата. Поэтому расчётная первая космическая скорость объясняет принцип орбитального движения, но не описывает все детали запуска. Реальный полёт рассчитывают с учётом этих факторов.
| Величина | Обозначение и формула | Смысл |
|---|---|---|
| Гравитационная сила | F = GMm/r² | Притяжение Земли к спутнику |
| Центростремительное ускорение | a = v²/r | Ускорение к центру круговой орбиты |
| Орбитальная скорость на расстоянии r от центра Земли | v = √(GM/r) | Скорость спутника на круговой орбите |
| Первая космическая скорость у поверхности Земли | v₁ = √(GM/R) = √(gR) | Скорость для круговой орбиты около Земли |
| Зависимость скорости от массы спутника и радиуса орбиты | v не зависит от m; v ∝ 1/√r | При большей орбите скорость меньше |
Сначала выберите формулу по тому, что требуется найти: силу, ускорение или скорость. Для орбиты на высоте h подставляйте r = R + h, а для орбиты у поверхности — r ≈ R. Перед вычислениями проверьте, что расстояния выражены в метрах, а скорость получится в метрах в секунду.
Найти скорость у поверхности Земли при g = 9,8 м/с² и R = 6,4·10⁶ м. Искомая скорость определяется формулой v₁ = √(gR), поэтому можно не подставлять отдельно массу Земли и гравитационную постоянную. Сначала вычислим значение под корнем в единицах СИ. Затем переведём результат из метров в секунду в километры в секунду.
Ответ: v₁ ≈ 7,9 км/с. Проверка единиц: произведение gR имеет размерность м²/с², а после извлечения корня получается м/с. Значение согласуется с оценкой первой космической скорости у Земли.
Найти скорость спутника на круговой орбите высотой h, если известны R и ускорение свободного падения g у поверхности. В формуле скорости используется расстояние от центра Земли, поэтому радиус орбиты равен r = R + h. Чтобы обойтись без величин G и M, выразим произведение GM через известное g. Это удобно, поскольку у поверхности g = GM/R².
Ответ: v = √(gR²/(R + h)). Для численного результата подставьте значения R, h и g в согласованных единицах СИ. Если дана высота в километрах, сначала переведите её в метры.
Сравнить скорости двух спутников на круговых орбитах радиусами R и 4R и выяснить, влияет ли масса спутников на результат. Для каждой орбиты применим одну формулу v = √(GM/r), так как обе движутся вокруг одной и той же Земли. Радиус второй орбиты в четыре раза больше первого. Отношение скоростей позволит сравнить их без вычисления отдельных значений.
Ответ: на орбите радиусом 4R скорость в два раза меньше, чем на орбите радиусом R. Если спутники имеют разные массы, отношение скоростей всё равно равно 2:1. Сравнивать нужно радиусы орбит от центра Земли, а не высоты над поверхностью.
Подставляют высоту орбиты h вместо расстояния r от центра Земли. Так делают, потому что в условии часто указана именно высота над поверхностью, но начало отсчёта в формуле находится в центре планеты. Перед вычислением запишите r = R + h. Проверка: при нулевой высоте должно получиться r = R, а не ноль.
Считают, что первая космическая скорость зависит от массы запускаемого тела. Ошибка возникает из-за того, что масса входит в формулу гравитационной силы. Приравняйте гравитационную силу произведению массы на центростремительное ускорение: масса спутника сокращается. В итоговой формуле скорости остаются характеристики Земли и радиус орбиты.
Путают первую космическую скорость со скоростью убегания. Обе величины связаны с притяжением Земли, поэтому их легко смешать, но первая нужна для круговой орбиты, а скорость убегания — для ухода от Земли. Спросите себя, какое движение требуется в задаче: вращение вокруг планеты или удаление от неё. Это сразу подскажет, какую скорость искать.
Записывают скорость в километрах в секунду, подставляя остальные величины в единицах СИ. Тогда числа оказываются выражены в несогласованных единицах, и результат становится неверным. Сначала переведите радиусы в метры, ускорение — в м/с², а вычисленную скорость получите в м/с. Только после расчёта разделите значение в м/с на 1000, чтобы получить км/с.
Для понимания орбит пригодятся второй закон Ньютона, закон всемирного тяготения и формула центростремительного ускорения. Круговое движение и равенство силы тяготения центростремительной силе помогают объяснять движение не только искусственных спутников, но и планет. Та же логика лежит в основе расчётов скоростей на орбитах и условий запуска космических аппаратов. Поэтому первая космическая скорость служит отправной точкой для дальнейшего изучения космических скоростей.
Почему спутник не падает на Землю, если на него действует сила тяжести?
Спутник постоянно падает под действием притяжения, но имеет достаточную горизонтальную скорость. Пока он падает, поверхность Земли из-за её кривизны также «уходит» вниз, поэтому спутник движется вокруг планеты.
Почему первая космическая скорость не зависит от массы спутника?
Сила тяготения пропорциональна массе спутника, но и его масса в выражении второго закона Ньютона умножает ускорение. Приравнивая гравитационную и центростремительную силы, массу спутника можно сократить.
Почему высоту орбиты нужно прибавлять к радиусу Земли?
В формуле орбитальной скорости r — расстояние от центра Земли, а высота h отсчитывается от её поверхности. Поэтому для орбиты на высоте h используют r = R + h.
Чем первая космическая скорость отличается от скорости убегания?
Первая космическая скорость нужна, чтобы двигаться по круговой орбите вокруг Земли. Скорость убегания позволяет преодолеть земное притяжение и удалиться от Земли без возвращения, если не учитывать другие небесные тела.
Почему реальная скорость запуска может отличаться от расчётной первой космической скорости?
Расчёт предполагает отсутствие атмосферы, вращения Земли и неоднородности гравитационного поля. В реальном запуске эти факторы влияют на движение, а ракете также нужна скорость и энергия для подъёма и выхода на заданную орбиту.
5. Первая космическая скорость
