5. Первая космическая скорость

Определения и обозначения

Первая космическая скорость — минимальная горизонтальная скорость, которую сообщают телу у поверхности Земли, чтобы оно двигалось по круговой орбите. Она нужна для запуска искусственного спутника без дальнейшего постоянного разгона. Для Земли у поверхности её значение примерно равно 7,9 км/с.

Круговая орбита — траектория, на которой расстояние спутника до центра Земли остаётся постоянным. Поэтому спутник движется по окружности, а направление его скорости всё время меняется. Такое движение удобно описывать законами равномерного движения по окружности.

Искусственный спутник Земли — тело, движущееся вокруг Земли под действием её тяготения. Спутником может быть аппарат, научный прибор или другой объект, выведенный на орбиту человеком. Его движение определяется начальной скоростью и силой притяжения Земли.

Гравитационная сила — сила притяжения тела к Земле. Она направлена к центру планеты и удерживает спутник на орбите. В обозначениях G — гравитационная постоянная, M — масса Земли, m — масса спутника, r — расстояние от центра Земли до спутника.

Как это устроено

Если бросить тело горизонтально, оно начнёт падать под действием силы тяжести. Однако при большой скорости тело за время падения успевает переместиться вперёд на такое расстояние, что поверхность Земли заметно опускается из-за её кривизны. Поэтому спутник всё время приближается к Земле, но не достигает поверхности: поверхность искривляется с той же скоростью, с какой спутник падает к ней.

При круговом движении скорость спутника направлена по касательной к орбите, а ускорение направлено к центру окружности. Такое ускорение называют центростремительным: aц = v²/r. Вокруг Земли роль силы, создающей это ускорение, выполняет сила тяжести, поэтому именно гравитация постоянно изменяет направление скорости спутника.

По закону всемирного тяготения сила тяжести равна Fт = GMm/r², а центростремительная сила для спутника равна Fц = mv²/r. При круговой орбите эти силы имеют одинаковые значения: GMm/r² = mv²/r. Сокращая массу спутника и преобразуя равенство, получаем формулу первой космической скорости: v₁ = √(GM/r).

У поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу планеты R, а ускорение свободного падения связано с параметрами Земли формулой g = GM/R². Поэтому выражение принимает вид v₁ = √(gR), где g ≈ 9,8 м/с², R ≈ 6,4·10⁶ м. Если орбита расположена выше поверхности, r = R + h, и формула показывает: с увеличением r скорость спутника уменьшается.

Величины, используемые при расчёте первой космической скорости

Сначала определите, какое расстояние нужно использовать: для орбиты высотой h это r = R + h, а не сама высота. Затем выберите формулу с известными величинами и приведите все данные к единицам СИ. После вычисления скорость можно перевести из м/с в км/с, разделив результат на 1000.

Разбор задач

Задача 1. Скорость у поверхности Земли

Условие: g = 9,8 м/с², R = 6,4·10⁶ м. Найти первую космическую скорость у поверхности Земли.

1. Так как известны g и R, используем формулу v₁ = √(gR).
2. Подставляем значения: v₁ = √(9,8 · 6,4·10⁶) м/с.
3. Получаем v₁ ≈ 7919 м/с, затем переводим единицы: 7919 м/с ≈ 7,9 км/с.

Ответ: первая космическая скорость примерно равна 7,9 км/с.

Задача 2. Орбита высотой 400 км

Условие: R = 6400 км, h = 400 км, скорость у поверхности v₁ = 7,9 км/с. Найти скорость спутника.

1. Радиус орбиты отсчитывается от центра Земли: r = R + h = 6400 + 400 = 6800 км.
2. Используем зависимость v = v₁√(R/(R + h)). Единицы уже согласованы, поэтому переводить километры в метры не требуется.
3. Подставляем: v = 7,9√(6400/6800) км/с ≈ 7,66 км/с.

Ответ: скорость спутника на высоте 400 км примерно равна 7,7 км/с. Она меньше скорости у поверхности, потому что радиус орбиты больше.

Задача 3. Радиус и высота орбиты

Условие: спутник движется со скоростью v = 7,0 км/с, v₁ = 7,9 км/с, R = 6400 км. Найти радиус и высоту орбиты.

1. Из формулы v = v₁√(R/r) возводим обе части в квадрат: v² = v₁²R/r.
2. Выражаем радиус: r = v₁²R/v² = (7,9² · 6400)/7,0² км ≈ 8157 км.
3. Высота равна разности радиуса орбиты и радиуса Земли: h = r − R ≈ 8157 − 6400 = 1757 км.

Ответ: радиус орбиты примерно 8160 км, высота над поверхностью — около 1760 км.

Типичные ошибки

Подстановка высоты вместо радиуса. Величина h отсчитывается от поверхности, а в формуле нужна величина r от центра Земли. Проверьте себя записью r = R + h до подстановки чисел.

Вертикальное направление скорости. При запуске вверх тело удаляется от Земли, но круговая орбита так не создаётся. Для круговой орбиты скорость должна быть горизонтальной и перпендикулярной радиусу.

Путаница первой и второй скоростей. Первая скорость оставляет тело на круговой орбите, а вторая позволяет покинуть поле тяготения Земли. Спросите себя, должна ли траектория замкнуться вокруг Земли.

Ошибки в единицах. Нельзя смешивать километры с метрами и км/с с м/с в одной формуле. Перед расчётом выпишите все данные в СИ, а перевод в километры выполните в самом конце.

Связь с другими темами

Для вывода формулы нужны закон всемирного тяготения, второй закон Ньютона и формула центростремительного ускорения. Они объясняют, почему сила притяжения может изменять движение спутника.

Тема непосредственно связана с равномерным движением по окружности: скорость постоянна по модулю, но её направление непрерывно меняется. Понятие орбиты также используется при изучении искусственных спутников Земли.

Дальше первая космическая скорость поможет понять вторую космическую скорость, особенности космических полётов и движение планет. Те же идеи применяются к любому небесному телу, если известны его масса и радиус.

Что запомнить

• Первая космическая скорость обеспечивает движение тела по круговой орбите вокруг Земли.
• У поверхности Земли первая космическая скорость приблизительно равна 7,9 км/с.
• При круговом движении сила тяжести является центростремительной силой.
• Формула первой космической скорости: v₁ = √(GM/r).
• У поверхности Земли можно использовать формулу v₁ = √(gR).
• С увеличением высоты круговая орбитальная скорость уменьшается.
• Для выхода из поля тяготения нужна вторая космическая скорость, а не первая.