"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. / Под ред. Парфентьевой Н.А.
Первая космическая скорость — минимальная горизонтальная скорость, при которой тело у поверхности планеты может двигаться вокруг неё по круговой орбите. Она показывает, как сила тяготения удерживает искусственный спутник и от чего зависит его движение. Скорость находят, приравнивая силу тяготения центростремительной силе: у поверхности планеты v₁ = √(GM/R), или v₁ = √(gR). Для Земли получается примерно 7,9 км/с.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Первая космическая скорость — минимальная горизонтальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало её спутником, если сопротивлением атмосферы пренебречь. Иными словами, тело не просто поднимается вверх, а начинает двигаться вокруг планеты. Это понятие позволяет оценить скорость, необходимую для выхода на орбиту.
Искусственный спутник Земли — тело, движущееся вокруг Земли по орбите под действием силы тяготения. Спутником может быть созданный человеком аппарат, а его движение определяется притяжением Земли и начальной скоростью. Это определение помогает отличать орбитальное движение от обычного полёта или подъёма ракеты.
Круговая орбита — орбита, на которой спутник движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Направление скорости при этом меняется, поэтому движение остаётся ускоренным. Такая модель упрощает расчёт: расстояние спутника от центра планеты постоянно.
Гравитационный параметр планеты — произведение гравитационной постоянной на массу планеты, GM; он входит в формулу орбитальной скорости. Здесь G — универсальная гравитационная постоянная, а M — масса планеты. Обозначение GM позволяет компактно записывать формулы и сравнивать орбитальные скорости для разных планет.
Спутник на круговой орбите всё время притягивается к центру планеты. Чтобы он двигался по окружности, его скорость должна непрерывно менять направление, а значит, спутнику необходимо центростремительное ускорение. Его вызывает сила тяготения: именно поэтому в этой задаче она играет роль центростремительной силы, а не уравновешивается какой-то отдельной силой.
Силу тяготения на расстоянии r от центра планеты находят по закону всемирного тяготения: F = GMm/r². Для движения по окружности нужна центростремительная сила F = mv²/r. Приравнивая выражения, получаем GMm/r² = mv²/r, а после сокращения и преобразования — v = √(GM/r). Масса спутника сокращается, потому что и сила притяжения, и необходимая для поворота движения сила пропорциональны этой массе.
Чтобы найти скорость у поверхности, принимают радиус орбиты равным радиусу планеты R. Подстановка r = R в формулу орбитальной скорости даёт v₁ = √(GM/R). Это идеализированный случай: спутник должен двигаться по круговой орбите, а влиянием атмосферы и неровностей поверхности пренебрегают. Поэтому первая космическая скорость описывает движение у поверхности планеты в рамках модели, а не любой способ запуска.
Связать скорость с измеряемым ускорением свободного падения можно через формулу g = GM/R². Из неё следует GM = gR²; подставляя это в выражение для v₁, получаем v₁ = √(gR). Для Земли при g ≈ 9,8 м/с² и R ≈ 6,4 · 10⁶ м получается около 7,9 км/с. Формула удобна, когда известны ускорение свободного падения и радиус, но гравитационная причина движения спутника остаётся той же.
У спутника на высоте h расстояние от центра планеты уже не равно её радиусу: орбита проходит на расстоянии R + h. Поэтому его скорость равна v = √(GM/(R + h)), а не скорости у поверхности. С ростом высоты знаменатель увеличивается и орбитальная скорость уменьшается. Полученное значение относится к движению по орбите, тогда как ракете при старте приходится дополнительно преодолевать сопротивление воздуха и терять энергию на подъём.
| Величина или случай | Формула | Что означает |
|---|---|---|
| Скорость на круговой орбите радиуса r | v = √(GM/r) | Орбитальная скорость спутника на данном расстоянии от центра планеты |
| Первая космическая скорость у поверхности | v₁ = √(GM/R) | Скорость на круговой орбите радиуса планеты R |
| Формула через ускорение свободного падения | v₁ = √(gR) | Та же скорость, если известны g и R |
| Первая космическая скорость Земли | v₁ ≈ 7,9 км/с | Приближённое значение у поверхности Земли |
Сначала выбери строку, соответствующую условию: для орбиты выше поверхности используй её радиус r, а для поверхности — R. Если даны g и R, можно сразу применить формулу v₁ = √(gR). Проверяй, чтобы величины были выражены в согласованных единицах.
Задача 1. Радиус Земли равен 6,4 · 10⁶ м, ускорение свободного падения — 9,8 м/с². Найдём первую космическую скорость. Поскольку даны g и R, удобнее использовать формулу v₁ = √(gR), а не искать массу Земли.
Ответ: v₁ ≈ 7,9 км/с. Переводим метры в секунду в километры в секунду, разделив значение на 1000. Такой результат согласуется с приближённым значением первой космической скорости Земли.
Задача 2. Спутник движется по круговой орбите на высоте h над планетой радиуса R. Выразим его скорость через g у поверхности, R и h. Здесь радиус орбиты нужно отсчитывать от центра планеты, поэтому он равен R + h.
Ответ: v = √(gR²/(R + h)). Проверка смысла: если h = 0, выражение превращается в √(gR), то есть в первую космическую скорость у поверхности. При увеличении h знаменатель растёт, и скорость становится меньше.
Задача 3. Для двух планет известны массы M₁ и M₂ и радиусы R₁ и R₂. Нужно определить, где первая космическая скорость больше, и сравнить значения. Сравнивать только массы или только радиусы недостаточно: в формулу входят оба параметра.
Ответ: скорость больше у планеты с большим отношением массы к радиусу; точное сравнение зависит от данных задачи. В отношении скоростей массы и радиусы нельзя сравнивать по отдельности, поскольку оба влияют на результат. Если отношения равны, первые космические скорости планет одинаковы.
Для спутника на высоте иногда подставляют в формулу орбитальной скорости радиус планеты R. Это происходит, если забыть, что r отсчитывают от центра планеты, а высота h отсчитывается от поверхности. Проверь себя: расстояние до центра должно составлять r = R + h; при h = 0 оно действительно равно R.
Первую космическую скорость путают со скоростью вертикального старта или скоростью отрыва от поверхности. Причина — представление, будто достаточно разогнать ракету вверх до нужного числа, хотя спутнику необходимо двигаться горизонтально по орбите. Для проверки уточни, что именно ищется: скорость орбитального движения или скорость ракеты при запуске.
Некоторые считают, что скорость спутника зависит от его массы. Такая ошибка возникает, если посмотреть только на формулу силы тяготения и не выполнить сокращение m при приравнивании сил. Проверь вывод: m присутствует в обеих частях равенства и сокращается, поэтому в формуле остаются параметры планеты и радиус орбиты.
При расчёте по формуле v₁ = √(gR) могут подставить R в километрах, а g — в м/с². Тогда единицы не согласованы, и численный ответ окажется неверным, даже если вычисления выполнены правильно. Перед подстановкой проверь единицы: для результата в м/с радиус нужно перевести в метры, а ответ можно перевести в км/с уже в конце.
Для вывода формулы нужны закон всемирного тяготения, второй закон Ньютона и формула центростремительного ускорения. Вместе они объясняют, почему тело может обращаться вокруг планеты, не имея опоры. Тема применяется при изучении искусственных спутников и веса тела на орбите: условия движения там отличаются от привычных земных. Представление о круговой орбите также помогает описывать движение планет и спутников и подводит к дальнейшему изучению космических скоростей.
Почему спутник не падает на Землю, если на него действует сила тяжести?
Сила тяжести не исчезает: именно она искривляет траекторию спутника и направлена к центру Земли. Спутник всё время как бы падает, но из-за горизонтальной скорости движется вокруг планеты, не достигая её поверхности.
Почему первая космическая скорость зависит от радиуса и массы планеты?
Чем больше масса планеты, тем сильнее её притяжение и тем быстрее должен двигаться спутник, чтобы оставаться на орбите. При той же массе увеличение радиуса орбиты ослабляет притяжение, поэтому орбитальная скорость уменьшается.
Зависит ли первая космическая скорость от массы спутника?
Нет, масса спутника сокращается при приравнивании силы тяготения центростремительной силе. Поэтому скорость определяется массой и радиусом планеты, а не тем, насколько тяжёл спутник.
Почему скорость спутника на высоте отличается от первой космической скорости у поверхности?
На высоте h радиус орбиты равен R + h, поэтому скорость вычисляют как v = √(GM/(R + h)). При увеличении расстояния до центра планеты орбитальная скорость становится меньше, чем у её поверхности.
Означает ли первая космическая скорость, что ракета должна разогнаться до неё при старте?
Нет, это скорость движения по орбите, а не скорость вертикального старта. В расчёте предполагаются горизонтальное движение у поверхности и отсутствие атмосферы; реальной ракете нужно учитывать сопротивление воздуха и другие потери.
§ 32. Первая космическая скорость
