§ 31. Закон всемирного тяготения

Определения и обозначения

Закон всемирного тяготения утверждает: любые два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Это правило позволяет вычислять силу притяжения для самых разных тел и сравнивать, как она меняется при изменении масс или расстояния.

Сила тяготения — сила взаимного притяжения тел, направленная вдоль прямой, соединяющей их центры. Она действует на оба тела, поэтому при расчётах можно определить не только величину воздействия, но и направление движения каждого тела под действием этой силы.

Гравитационная постоянная обозначается G и равна приблизительно 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг² в СИ. Она задаёт численное значение силы для тел с заданными массами и расстоянием; единица выбрана так, чтобы формула давала силу в ньютонах при массах в килограммах и расстоянии в метрах.

Гравитационное взаимодействие — взаимодействие, присущее всем телам, обладающим массой. Его нельзя «выключить»: предметы притягиваются и на Земле, хотя обычно эта сила слишком мала, чтобы заметно изменить их движение.

Как это устроено

Наблюдая за движением планет, астрономы заметили закономерности в изменении их скорости и расстояния от Солнца. Кеплер описал движение планет своими законами, но сами законы не объясняли, почему планеты движутся именно так. Ньютон обобщил эти наблюдения и предположил, что между телами действует взаимное притяжение, которое управляет как движением небесных тел, так и падением предметов на Земле.

Если увеличить массу одного из тел, оно взаимодействует с другим сильнее; увеличение обеих масс усиливает притяжение в соответствии с их произведением. Это выражают прямой пропорциональностью F ∝ m₁m₂. Расстояние действует иначе: чем дальше тела, тем слабее их притяжение, причём F ∝ 1/r², поэтому удаление влияет на силу особенно заметно.

Обе зависимости объединены формулой F = Gm₁m₂/r². Здесь F — сила, m₁ и m₂ — массы тел, G — гравитационная постоянная, а r — расстояние именно между центрами тел. В СИ массу выражают в килограммах, расстояние — в метрах, силу — в ньютонах; подстановка этих единиц вместе с единицей G даёт результат в ньютонах.

Формулу можно применять к материальным точкам — телам, размерами которых в данной задаче можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними. Для сферически симметричных тел, например однородных шаров, притяжение рассчитывается так, как будто вся масса каждого тела сосредоточена в его центре. Поэтому тела сложной формы на большом расстоянии тоже часто допустимо считать точками: расстояние тогда намного больше их размеров.

Первое тело притягивает второе, а второе одновременно притягивает первое. По третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль линии между центрами тел. Равенство сил не означает равенства ускорений: если массы тел различаются, то при одной и той же силе большее ускорение получает тело с меньшей массой.

Величины в законе всемирного тяготения

Сначала выберите в таблице величины, данные в условии, и приведите их к единицам СИ. Затем подставьте значения в общую формулу, не забывая возвести r в квадрат. Если требуется найти неизвестную величину, выразите её из формулы до подстановки чисел.

Разбор задач

1. Найти силу притяжения тел

Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 1 м. Требуется найти силу их притяжения. Все величины уже заданы в единицах СИ, поэтому можно сразу использовать закон всемирного тяготения.

1. Записываем формулу: F = Gm₁m₂/r². В ней важны обе массы и квадрат расстояния между центрами.
2. Подставляем данные: F = 6,67·10⁻¹¹·2·3/1² Н. Произведение масс равно 6 кг², а деление на 1² численное значение не меняет.
3. Вычисляем: F = 4,002·10⁻¹⁰ Н ≈ 4,0·10⁻¹⁰ Н. Проверка единиц даёт ньютон, поскольку единица G содержит Н·м²/кг².

Ответ: сила притяжения равна примерно 4,0·10⁻¹⁰ Н.

2. Изменить расстояние между телами

Расстояние между телами увеличили в 3 раза, массы не изменились. Нужно определить, во сколько раз поменяется сила. Поскольку массы постоянны, сравниваем только знаменатели формулы.

1. Изначально F₁ = Gm₁m₂/r². После увеличения расстояния новое расстояние равно 3r, поэтому F₂ = Gm₁m₂/(3r)².
2. Раскрываем квадрат: (3r)² = 9r². Числитель остаётся прежним, значит F₂ = F₁/9.
3. Сила становится в девять раз меньше. Такой ответ можно проверить по зависимости 1/r²: увеличение расстояния в три раза уменьшает силу в 3² раза.

Ответ: сила уменьшится в 9 раз.

3. Найти неизвестную массу

Два тела притягиваются с силой 2·10⁻⁸ Н; масса второго тела равна 5 кг, расстояние между центрами — 2 м. Найдём массу первого тела. Чтобы неизвестная масса не осталась в произведении, преобразуем исходную формулу.

1. Из F = Gm₁m₂/r² выражаем m₁: m₁ = Fr²/(Gm₂). Сначала проверяем, что все данные заданы в СИ: ньютон, метр и килограмм.
2. Подставляем числа: m₁ = (2·10⁻⁸·2²)/(6,67·10⁻¹¹·5) кг. Квадрат расстояния равен 4 м², а знаменатель учитывает массу второго тела.
3. Вычисляем: m₁ ≈ 8·10⁻⁸/3,335·10⁻¹⁰ кг ≈ 240 кг. Масса получилась положительной, а единицы после сокращения соответствуют килограммам.

Ответ: масса первого тела примерно 240 кг.

Типичные ошибки

Подстановка расстояния между поверхностями тел вместо расстояния между центрами приводит к неверной силе. Так ошибаются, потому что в быту расстояния часто измеряют от края предмета до края. Перед вычислением проверьте, что учтены радиусы тел и найдено расстояние между их центрами.

Если забыть возвести расстояние в квадрат, получится зависимость 1/r вместо правильной 1/r². Причина часто в том, что квадрат теряется при переписывании формулы. Сверьте запись с F = Gm₁m₂/r² и отдельно проверьте степень у r перед подстановкой.

При увеличении расстояния в несколько раз нельзя уменьшать силу во столько же раз: например, при увеличении в три раза сила уменьшается в девять раз. Ошибка возникает, если не учесть квадрат в знаменателе. Для самопроверки возведите коэффициент изменения расстояния в квадрат и разделите силу на полученное число.

G — не ускорение свободного падения g, хотя обе величины связаны с тяготением. G — универсальная постоянная с единицей Н·м²/кг², а g — ускорение с единицей м/с², зависящее от места. Не подставляйте их друг вместо друга: проверка единиц и смысла величин сразу выявит ошибку.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны понятия массы и силы, умение работать с пропорциональными зависимостями и знание третьего закона Ньютона. Последний объясняет, почему взаимодействующие тела действуют друг на друга с равными по модулю силами. Закон тяготения помогает описывать движение планет и спутников, а также рассчитывать силу тяжести и ускорение свободного падения у небесных тел. Поэтому одна и та же идея связывает движение космических объектов и явления, наблюдаемые на Земле.

Что запомнить

• Все тела, обладающие массой, притягиваются друг к другу.
• Сила тяготения пропорциональна произведению масс тел.
• Сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел.
• Формула закона: F = Gm₁m₂/r².
• Гравитационная постоянная G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².
• Силы взаимного притяжения двух тел равны по модулю и противоположны по направлению.